Intégration !!

par **raito123** » 24 Mar 2008, 14:09

Re,

Voilà cet exo est composer de deux partie je bloque à la toute derniére question du 2éme partie! (je vois comme une sorte de contradiction)

On a

avec

J'ai déja démontrer plein de trucs :

La question est: étudier selon la parité de n la monotonie de (I_n) et déduire qu'elle est convergente puis calculer la limite en +infini!!

je trouve que si n est paire alors I_n est décroissante et si n est impair alors elle croissante et puisqu'elle est bornée alors elle est convergente!!

alors si la monotonie de I_n dépend de n comment est-ce possible que I_n ait une limite : si est pair I_n >I_n+1 et si n est impair alors I_n<I_n+1 !!

Et la limite?? vous avez une idée??

Merci

par **le_fabien** » 24 Mar 2008, 14:16

Bonjour,
si j'ai bien compris tu penses qu'une suite doit être strictement monotone pour converger alors que ce n'est pas nécessaire.
comme exemple la suite Un=(sin n)/n pour n>0 est convergente mais n'est ni croissante ni décroissante.

par **raito123** » 24 Mar 2008, 14:20

Ok je vois où tu veux en venir !!

Mais c'est pas vraiment le même cas ici!!

par **le_fabien** » 24 Mar 2008, 14:25

Je pense qu'il faudrait utiliser autre chose que "toute suite croissante et majorée est convergente".
Peut être un encadrement de In en fonction de suites convergentes...
En tout cas je vais gratter un peu de papier et essayer de trouver quelque chose.

par **raito123** » 24 Mar 2008, 14:29

Merci!!

Je pense que comme I_n est bornée et sa monotonie dépend de n alors veut dire qu'elle est convergente!!

Reste à trouver sa limite peut-être la seconde relation en haut (I_n+1 en fonction de I_n) peut servir à quelque chose!!

par **Joker62** » 24 Mar 2008, 14:41

u_n = (-1)^n bornée, dépend de la parité de n et pourtant, très loin d'être convergente :)

Par contre ,v_n = (-1)^n / n est décroissante pour les n pairs, croissante pour les n impairs, la monotonie dépend donc de la parité de n
Et on a bien la convergence de v_n

Alors pour ton problème, peut-être que I_(2n+1) et I_(2n) ont la même limite ? :)

Reste alors à trouver la limite de I_(2n+1) et celle de I_(2n) (faudrait commencer par montrer qu'elle converge cette dernière...)

par **raito123** » 24 Mar 2008, 14:47

Ouiiiiii !! merci joker, ton contre exemple est bon , je vois les choses plus claire (plutôt moins flou) o_O

J'avais aussi penser à I_2n et I_2n+1 mais j'ai pensé que ça serais un peu long surtout que c'est seulement une petite question d'un un ancien blanc (mais qui sais?) !!

Je vais essayer de chercher dans ce sens!!!

Merci!!

par **raito123** » 24 Mar 2008, 23:51

Alala ! je galére toujours!!

Quelqu'un a une idée comment montrer qu'elle est convergente!!??

par **Huppasacee** » 25 Mar 2008, 00:02

Bonsoir

Une petite idée

Dans ta relation entre In+1 et In , avec In bornée, quelle est la limite de
(1/n) * In
lim In+1 = lim[ (-1)^n+1/ne ]+ lim( 1/n * In)
ça ne donne pas une limite ?

par **raito123** » 25 Mar 2008, 00:44

Merci pour ta réponse!!

En fait ça ne donne rien car on a pas encore démontrer que I_n est convergente !!!

Tu vois ce que je veux dire?

par **raito123** » 25 Mar 2008, 00:46

Oui e fait ça donne la limite est 0 mais on n'as pas encore démontrer qu'elle est convergente!!!

Tu vois ce que je veux dire?

par **Huppasacee** » 25 Mar 2008, 01:01

valeur absolue de In+1 inférieure à 2/ne inférieur à 1/n

quel que soit epsilon aussi petit soit il , pour n> E(1/eps)
valeur absolue de (0 - In+1)
ça ne suffit par pour prouver qu'elle est convergente ?

Une suite convergente est une suite qui a une limite (définition )

par **Huppasacee** » 25 Mar 2008, 01:13

Le fait que In soit alternativement positif et négatif ne gêne en rien la convergence

en effet la suite définie par Un (-1)^n / n pour n>1 a les mêmes caractéristiques de monotonie et de signe que IN et c'est une suite convergente

par **raito123** » 25 Mar 2008, 01:14

Mais dans la question on me demande de montrer qu'elle est convergente et puis de trouver la limite et non l'inverse: donc on doit réspècter les étapes non?!!

par **Huppasacee** » 25 Mar 2008, 01:33

Introduisons 2 suites Un et Vn pour n> 2

Un = si n pair, In et si n impair In-1
Cette suite est décroissante ( pas strictement) et minorée (par 0 )

Vn = si n impair In et si n pair In-1
Cette suite est croissante et majorée (par 0 )

Avec lim Un - Vn = 0

On peut dire que

Un>=In>=Vn
et théorème des gendarmes

par **NICO 97** » 25 Mar 2008, 03:09

raito123 a écrit:Re,

Voilà cet exo est composer de deux partie je bloque à la toute derniére question du 2éme partie! (je vois comme une sorte de contradiction)

On a avec

J'ai déja démontrer plein de trucs :

La question est: étudier selon la parité de n la monotonie de (I_n) et déduire qu'elle est convergente puis calculer la limite en +infini!!

je trouve que si n est paire alors I_n est décroissante et si n est impair alors elle croissante et puisqu'elle est bornée alors elle est convergente!!

alors si la monotonie de I_n dépend de n comment est-ce possible que I_n ait une limite : si est pair I_n >I_n+1 et si n est impair alors I_n<I_n+1 !!

Et la limite?? vous avez une idée??

Merci

Lorsque tu choisis de ne considérer que les termes paires de ta suite tu construit ce que lon appel une sous-suite de ta suite. Idem pour les impaires.
Il faut que tu sache qu'une suite admet une limite finie ssi toutes les sous suites de cette suite admetent la même llimite finie.
Donc, si tu montres que la sous-suite de rang paire converge vers L et que c'est pareil pour la sous-suite de rang impaire, alors tu peut dire que ta suite cv vers L.

Ceci dit pour le démontrer tu n'auras peut-être pas le droit d'utiliser ce genre d'argument.
Il faut, je crois, que tu utililises le théoréme des suites adjacentes.

par **raito123** » 25 Mar 2008, 10:34

Si Si on a déja parler des sous-suites et je ne vois pas pourquoi ne pas les utiliser sauf que ça ne me donne rien car je ne vois pas comment montrer qu'elles sont adjacente!!!

J'ai considérer U_n=I_2n et V_n=I_2n+1 on démontre facilement qu'elle sont convergente mais j'ai pas pu montrer qu'elle ont la même limite!!!

@ Huppasacee : en fait ce n'est epsilon mais exponentiel!! Tu peux me dire comment trouves-tu Avec lim Un - Vn = 0 ??

par **Sa Majesté** » 25 Mar 2008, 16:49

Rassure-toi il avait bien compris !
Ce qu'il veut dire c'est qu'à partir de

avec l'inégalité triangulaire on obtient

et comme

alors

ce qui prouve que In tend vers 0

par **raito123** » 25 Mar 2008, 19:26

ça suffit de dire que I_n est convergente?

Parce que je sais que I_n tend vers 0 : y a plusieurs methode pour le montrer !!Sauf que là on répond dirécte à la derniére partie de la question qui est de trouver la limite, Je dois d'abord faire la partie qui précéde celle ci et qui demande de prouver que I_n est convergente!!!

Est-ce la même chose?

par **Huppasacee** » 25 Mar 2008, 22:48

De toute façon, por prouver qu'elles sont adjacentes, il suffit de calculer
In+1 - In et de le majorer en valeur absolue, et il est égal à :

(-1)^n+1/ne + 1/nIn - [ (-1)^n/(n-1)e +1/(n-1) In-1]

qui est majorée en valeur absolue par 4/ne

donc lim (Vn - Un )= 0

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