Intégration

par **mimine_69** » 22 Mar 2007, 08:20

Bonjour à tous! voilà j'ai un exercice ou je suis bloqué dès la 2ème questions et ou j'ai quelques problème de rédaction.
Voici l'énoncé:

1)On donne la fonction g défini sur R par: g(t)=e^t-t-1.
Etudier les variation de g sur R et donner son signe.
Ici je trouve qu'elle est décroissante puis croisssante sur R(j'ai fait un tableau de signe et je trouve comme dérivé g'(t)=e^t-1.

2)Déduire de cette étude les variations et le signe sur R de la fonction h définie par: h(t)= e^t-1/2(t)²-t-1
je trouve h'(t)=e^t-t-1 = g(t)
après pour déduire le signe de h je sais pas cmt faire?; j'ai surtout un pb de rédac là!! :hein:
Moi j'ai utiliser la calculette et j'ai trouvé k'elle croissante sur R .

3)pour x>=1, on pose F(x)=intégrale de 1 à x (1+(t+1)/(e^t-t-1) dt
Etudier le signe de F sur [1;+inf[
Ca je sais pas comment faire? :hein:

4)Montrer que pr tout t>0; 1<=1+(t+1)/(e^t-t-1)<=1+1/t+2/(t)². L à non plus je suis bloqué. :triste:

5)a)Justifier que pour tout x>=1:
x-1<=F(x)<= (2lnx/x)-(2/x)+x+1.
b) En déduire la limite de F en +inf. :triste:

6)a)Montrer que pour tout x>=1: 1-(1/x)<=F(x)/x<= (2lnx/x)-(2/(x)²)+x+(1/x).
b) En déduire lim F(x)/x lorsque x tend vers +inf. :triste:
Merci de m'aider à résoudre toute ces questions parce-que je trouve cette exercice vraiment duur :triste: :cry:

par **fonfon** » 22 Mar 2007, 08:37

salut,

2)Déduire de cette étude les variations et le signe sur R de la fonction h définie par: h(t)= e^t-1/2(t)²-t-1
je trouve h'(t)=e^t-t-1 = g(t)
après pour déduire le signe de h je sais pas cmt faire?; j'ai surtout un pb de rédac là!!
Moi j'ai utiliser la calculette et j'ai trouvé k'elle croissante sur R .

tu viens de montrer que h'(t)=g(t)

or sur R, tu sais que g(t)>=0 car g strictement decroissante sur ]-inf;0[ et strictement croissante sur ]0;+inf[ ( elle admet un minimum en 0 qui vaut 0) donc h'(t)>0 donc ta fonction h est strictement croissante sur R

la fonction g est strictement croissante sur R, elle s'annule en 0, elle est donc strictement negative sur ]-inf;0[ et strictement positive sur]0;+inf[

par **fonfon** » 22 Mar 2007, 09:12

3)pour x>=1, on pose F(x)=intégrale de 1 à x (1+(t+1)/(e^t-t-1) dt
Etudier le signe de F sur [1;+inf[
Ca je sais pas comment faire?

tu remarque que la fonction r(t)=(1+(t+1)/(e^t-t-1) est contine sur [1,+inf[ donc elle va admettre des primitives.
soit R une des primitives .par definition on a R'=r

donc on a F(x)=R(x)-R(1) donc F'(x)=R'(x) F'(x)=r(x)

donc F'(x)=r(x)=1+(1+x)/(e^x-x-1)

il suffit d'etudier le signe de F'(x) sur [1,+inf[, tu va trouver les vriations de F et ensuite le signe de F sur [1,+inf[

par **mimine_69** » 22 Mar 2007, 20:49

OK j'ai bien compris pour la 2ème question enfaite moi je me suis focalisé plus vers les variation de g(x) j'avais même pas remarquer que son minimum était 0 :briques: .
Par contre si j'ai bien compris pour la 3) f'(x) = (1 +((t+1)/(e^t-t-1)) et donc je dois étudier le signe de ça?
je simplifie le fonction et je trouve que f'(x)= e^x/e^x-x-1.
or e^x-x-1<0 donc la fonction est F(x) est décroissante sur [1;+inf[
Est je bien compris ? :hein:

par **fonfon** » 23 Mar 2007, 06:43

[quote]Par contre si j'ai bien compris pour la 3) f'(x) = (1 +((t+1)/(e^t-t-1)) et donc je dois étudier le signe de ça?
je simplifie le fonction et je trouve que f'(x)= e^x/e^x-x-1.
or e^x-x-10 donc r'(x)0 et

donc r(x)>0 donc...

par **mimine_69** » 24 Mar 2007, 06:46

Ah oui ok j'ai compris .
Mais pour la question4 est ce que je dois soustraire un des 2 menbres pour montrer que l'ensemble est égale à une constante et que donc c'est bien inférieur à 1. Ou il y a une autre méthode?? :hein:
J'ai essayée de calculer l'intégrale de la question 5; mais je trouve pas le bon résultat; moi je trouve: F(x)=[t+(2/t)-(2/t)]de 1 à x
=[t]=x-1.
Mais le résultat d'après ma calculatrice doit être environ égale à 6.53 ce qui n'es pas le cas :cry: :cry:
AIDEZ MOI svp!!!

par **fonfon** » 24 Mar 2007, 07:37

4)Montrer que pr tout t>0; 1<=1+(t+1)/(e^t-t-1)<=1+1/t+2/(t)². L à non plus je suis bloqué.

Mais pour la question4 est ce que je dois soustraire un des 2 menbres pour montrer que l'ensemble est égale à une constante et que donc c'est bien inférieur à 1. Ou il y a une autre méthode??

etudie les variation de

et

celles de

par **fonfon** » 24 Mar 2007, 07:48

[quote]5)a)Justifier que pour tout x>=1:
x-1=1) on a:

( je te laisse les calculs intermediaires)

par **mimine_69** » 24 Mar 2007, 08:57

OK POUR la 4 et 5. Et pour la 5b est ce que je peux je peux juste étudier la limite de 1+((t+1)/(e^t-t-1)) en + inf ??? :hein:

par **fonfon** » 24 Mar 2007, 09:10

tu as montré que

or

donc

par **mimine_69** » 24 Mar 2007, 09:35

:hein: j'ai pas très bien compri pourquoi tu as étudier la limite de x-1

par **mimine_69** » 24 Mar 2007, 09:43

Pour la 6a) j'ai fait:
On a démontré ds 5a que x-1<=F(x)<=2lnx-(2/x)+x+1
En disivant chuaque menbres par x on obtient: 1-(1/x)<=F(x)/x<=(2lnx/x)-(2/x²)+1+(1/x)
b) lim 1-(1/x) qd x tend vers +inf =1 donc lim F(X)=1 qd xtend vers + inf.
C'est juste ou pas ce que j'ai fait ????

par **fonfon** » 24 Mar 2007, 09:50

j'ai pas très bien compri pourquoi tu as étudier la limite de x-1

tu vien s de montre que

on utilise le theoreme de comparaison

Si, au voisinage de a (a réel, ou +inf ou -inf) , f(x)>=u(u) et si limu(x)=+inf qd x->a alors lim f(x)=+inf qd x->a

Pour la 6a) j'ai fait:
On a démontré ds 5a que x-1<=F(x)<=2lnx-(2/x)+x+1
En disivant chuaque menbres par x on obtient: 1-(1/x)<=F(x)/x<=(2lnx/x)-(2/x²)+1+(1/x)
b) lim 1-(1/x) qd x tend vers +inf =1 donc lim F(X)=1 qd xtend vers + inf.
C'est juste ou pas ce que j'ai fait ????

c'est presque jute car ici il faut que tu te serves de la double inegalité

1-(1/x)<=F(x)/x<=(2lnx/x)-(2/x²)+1+(1/x)

et

donc d'apres le theoreme des gendarmes

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