Intégrale / Suite (Fermat)

[Charlotte20]

Bonjour a tous,

J'ai un exercice a faire sur les intégrales et les suites. Je suis complètement bloquée a la question 1) c. et ne comprends pas très bien l'énoncé. Pouvez vous m'aider en m'indiquant les choses a faire pour commencer, s'il vous plait.

Voici l'énoncé :

On considère deux réels strictement positifs a0 et , et la suite géométrique (an) de terme initial a0 et de raison (1+ALPHA) :
pour tout entier n0 , an = a0(1+ALPHA)n.
Cette suite s'appelle suite de Fermat.

Dans un repère orthonormé, on s'intéresse au domaine A situé entre la courbe d'équation y=1/x^2, l'axe des abscisses et a droite de la droite d'équation x=a0 . Dans la suite, les aires sont exprimées en unité d'aire.

Pour tout entier n1, on construit n rectangles "supérieurs", d'aires A0, A1,...An-1 comme sur la figure. On admet que le domaine A admet une aire finie S.

1)a. Montrer que A0= ALPHA/ a0
Ca j'ai réussi en montrant que l'aire d'un rectangle est L x l et on sait que L= 1/a0^2 et l=a1-a0 donc si on calcul on trouve A= a1/a0 , apres on n'a plus qu'a remplacer a1 et simplifier l'équation vu que a1 est la suite géométrique.

b. Calculer Ak pour tout entier k, ou 0kn-1.
Ca j'ai réussi aussi, j'ai fait pareil que la question précédente, est ce bon? Je trouve donc Ak=ALPHA/ ak

c. En déduire que :
SOMME(avec n-1 et k=0) Ak=/a0 [1+ 1/(1+ALPHA) +..+1/(1+ALPHA)^(n-1)]

d. Démontrer que :
SOMME(avec n-1 et k=0) Ak=(1+ALPHA)/a0[1-1/(1+ALPHA)^n]

e. En déduire que S < (1+ALPHA)/a0

2)a. Reprendre la méthode précédente en prenant des rectangles avec la meme subdivision, mais situés sous la courbe et démontrer que :
1/(a0(1+ALPHA)) < S < (1+ALPHA)/a0

b. Fermat fait ensuite tendre vers 0, ce qui augmente le nombre de rectangles. Quelle valeur de S obtient-on?

3) En posant le problème a l'aide d'intégrales, confirmer le résultant précédent.

Voila l'exercice, je sais pas ce que vous en pensait mais moi je le trouve super difficile! Je suis bloquée a la question 1) c. Je ne comprends pas du tout la c et la d :hein:
Pouvez vous me guider s'il vous plait. Merci d'avance.

PS: je suis désolée pour l'écriture, je suis nouvelle ici donc je n'arrive pas très bien a mettre des nombres en indice ou en exposant.

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour a tous,

J'ai un exercice a faire sur les intégrales et les suites. Je suis complètement bloquée a la question 1) c. et ne comprends pas très bien l'énoncé. Pouvez vous m'aider en m'indiquant les choses a faire pour commencer, s'il vous plait.

Voici l'énoncé :

On considère deux réels strictement positifs a0 et , et la suite géométrique (an) de terme initial a0 et de raison (1+ALPHA) :
pour tout entier n0 , an = a0(1+ALPHA)n.
Cette suite s'appelle suite de Fermat.

Dans un repère orthonormé, on s'intéresse au domaine A situé entre la courbe d'équation y=1/x^2, l'axe des abscisses et a droite de la droite d'équation x=a0 . Dans la suite, les aires sont exprimées en unité d'aire.

Pour tout entier n1, on construit n rectangles "supérieurs", d'aires A0, A1,...An-1 comme sur la figure. On admet que le domaine A admet une aire finie S.

1)a. Montrer que A0= ALPHA/ a0
Ca j'ai réussi en montrant que l'aire d'un rectangle est L x l et on sait que L= 1/a0^2 et l=a1-a0 donc si on calcul on trouve A= a1/a0 , apres on n'a plus qu'a remplacer a1 et simplifier l'équation vu que a1 est la suite géométrique.

b. Calculer Ak pour tout entier k, ou 0kn-1.
Ca j'ai réussi aussi, j'ai fait pareil que la question précédente, est ce bon? Je trouve donc Ak=ALPHA/ ak

c. En déduire que :
SOMME(avec n-1 et k=0) Ak=/a0 [1+ 1/(1+ALPHA) +..+1/(1+ALPHA)^(n-1)]

d. Démontrer que :
SOMME(avec n-1 et k=0) Ak=(1+ALPHA)/a0[1-1/(1+ALPHA)^n]

e. En déduire que S < (1+ALPHA)/a0

2)a. Reprendre la méthode précédente en prenant des rectangles avec la meme subdivision, mais situés sous la courbe et démontrer que :
1/(a0(1+ALPHA)) < S < (1+ALPHA)/a0

b. Fermat fait ensuite tendre vers 0, ce qui augmente le nombre de rectangles. Quelle valeur de S obtient-on?

3) En posant le problème a l'aide d'intégrales, confirmer le résultant précédent.

Voila l'exercice, je sais pas ce que vous en pensait mais moi je le trouve super difficile! Je suis bloquée a la question 1) c. Je ne comprends pas du tout la c et la d :hein:
Pouvez vous me guider s'il vous plait. Merci d'avance.

PS: je suis désolée pour l'écriture, je suis nouvelle ici donc je n'arrive pas très bien a mettre des nombres en indice ou en exposant.

1°)c) .
Or est une contante : elle ne dépend pas de donc du peut factoriser ta somme par .
Ensuite, revient à la définition : donc ...

(compare ce que tu as au début de l'égalité t sur quoi tu dois aboutir)

En gros, ton exo nous propose un moyen de calculer sans les intégrales (si tu as vu ce que c'est).
En fait :

[Kikoo <3 Bieber]

Intéressant de calculer une intégrale impropre en TS :D

[Charlotte20]

donc si on met en facteur alpha on obtient :


SOMME(avec n-1 et k=0) A_k=\alpha* [1+ 1/(1+\alpha) +..+1/(1+\alpha)^(n-1)]/a_0
et comme on sait que a_k=a_0(1+\alpha)^k donc on peut dire que :

a_0(1+\alpha)^k = \alpha* [1+ 1/(1+\alpha) +..+1/(1+\alpha)^(n-1)]/a_0 c'est ca?

et non je n'ai pas encore vu la façon pour calculer une aire sans les intégrales

[Charlotte20]

petite parenthèse : Comment faite vous pour faire le symbole alpha et mettre les nombre en indice ou exposant ? :)

[Kikoo <3 Bieber]

donc si on met en facteur alpha on obtient :


SOMME(avec n-1 et k=0) A_k=\alpha* [1+ 1/(1+\alpha) +..+1/(1+\alpha)^(n-1)]/a_0
et comme on sait que a_k=a_0(1+\alpha)^k donc on peut dire que :

a_0(1+\alpha)^k = \alpha* [1+ 1/(1+\alpha) +..+1/(1+\alpha)^(n-1)]/a_0 c'est ca?

et non je n'ai pas encore vu la façon pour calculer une aire sans les intégrales

Je réécris ton message en LaTeX (ceci dit déjà bien écrit) :

donc si on met en facteur alpha on obtient :



et comme on sait que donc on peut dire que :

c'est ca?

et non je n'ai pas encore vu la façon pour calculer une aire sans les intégrales

Il y a beaucoup d'incohérences dans ce que tu as écrit... Es-tu bien sûre de cela ?

[Charlotte20]

Je réécris ton message en LaTeX (ceci dit déjà bien écrit) :


Il y a beaucoup d'incohérences dans ce que tu as écrit... Es-tu bien sûre de cela ?

Oui et apres on remplace avec la formule de le somme des suites géométrique non?

[Kikoo <3 Bieber]

Je reprends la formule de Cpt. Nuggets :


On sait que donc en remplaçant, on se retrouve avec :

somme géométrique dont le terme général est une suite géométrique de raison et de premier terme 1.
Tu connais la suite.

PS : du coup, ce que tu as écrit est à moitié juste L'incohérence portait sur la deuxième égalité, mais je vois ce que tu as voulu écrire.

[Charlotte20]

Ah d'accord, je vais essayer de refaire l'exercice car j'ai du mal a comprendre, merci pour vos messages :)

[capitaine nuggets]

Ah d'accord, je vais essayer de refaire l'exercice car j'ai du mal a comprendre, merci pour vos messages

N'hésite pas à revenir au cas où :++: