Les nombres de Fermat

[Minnie]

Bonjour j'ai un DM mais pas moyens de resoudre cet exercice, si vous pouviez m'aider s'il vous plais, merci.

Les nombres de Fermat sont de la forme Fn=2^(2n)+1 pour n un entier naturel.
Le mathématicien Pierre de Fermat conjectura au XVIIe siècle que ces nombres étaient tous premiers.

1) Explique la conjecture de Fermat.

2) m est un entier strictement supérieur à 1
a)Exprimer en fonction de x et m la somme 1-x+x^2-x^3+...+(-x)^{m-1}

b)Montrer que s'il existe un entier n tel que m=2n+1, alors, x^m+1 est divisible par x+1

c)En déduire que si m n'est pas une puissance de 2 alors 2^m+1 n'est pas premier
(m peut s'écrire sous la forme 2^k*q avec q un nombre impair strictement supérieur a 1)

d) Application : Déduire de la question 2)c) un diviseur de 2^{20}+1

3) a) Énoncer la contraposée de la propriété démontrée à la question 2)c)

b) Énoncer la réciproque de la propriété énoncée à la question 3)a)

c) Vérifier que F_5 est divisible par 641.

d) Que peut-on penser de la propriété énoncée a la question 3)b) ?

[Cheche]

Tu en es où dans ton devoir ?

[Minnie]

J'ai réussi la question 1)a)b) et la 2)a), après je bloque...

[Minnie]

J'ai réussi aussi la 3)a)b)

a la 3)c) je trouve que F5=1025 et donc n'est pas divisible par 641
donc je ne sais pas trop quoi dire pour la d) ...