Theoreme de fermat

[gungin]

bonjour a tous,alors voila j'ai un exercice qui porte sur une autre demonstration du petit theoreme de fermat,voici l'enonce:
soit p un nombre premier et k un entier compris entre 1 et p-1(non strictement)
a.demontre que p divise p!
j'ai reusii

b.justifier que p et k! sont premiers entre eux
je pense qu'il faudrait utiliser bezout mais je n'arrive pas a trouver une combinaison lineaire
ou bien j'ai pense a une autre ideé mais je ne sais pas si c'est juste:si a est premier avec b et c alors a est premier avec b*c or je ne sais pas si cette propriete est juste

c.en deduire que p divise (k parmi n),je vois pas trop comment faire
3demontrer par recurrence que n^p congru a n modulo p
je n'arrive pas a demontrer l'heredite

exercice 2
on considere a,b,c appartenant a Z tel qua ab congru a ac modulo n,on cherche a quelle condition on a b congru a c modulo n.n superieur a 2
1.si a est premier avec n demontrer que c'est le cas
j'ai utilise le fait que n divise a(b-c) donc d'apres gauss n divise b-c donc c'est bon
2)n et a ne sont pas premiers entre eux
a)n divise a .peut-on en deduire b congru a c modulo n?,j'ai mis non en prenant par exemple a=7,b=4 et c=1,n=7
b)n de divise pas a,peut-on en deduire que b congru a c modulo n?j'ai mis non avec par exemple a=7,n=14,b=3 et c=1

voila merci d'avance pour votre aide

[Le Yaude]

Salut ! Pour la b, ta propriété est juste, si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec b*c, c'est une conséquence du théorème de Gauss. Je pense qu'il vaut mieux utiliser ça parce que le théorème de Bezout je vois pas comment trouver la combinaison linéaire... Pr la suite, je cherche encore ! lol

[Le Yaude]

Une petite précision, ça correspond à quoi p| (k parmi n), je vois pas ce que ça veut dire j'ai jms utilisé ce terme (ma prof doit dire autrement).

[fahr451]

bonsoir
d'où sort ce n ?

p divise ( k parmi p) ça oui avec 0
car on a la relation

k x (k parmi p) = p x (k-1 parmi p-1)

relation simple à obtenir en considérant le nombre d'équipes de foot de k joueurs avec un gardien que l'on peut former à partir d'un effectif de n personnes)

donc p divise le membre de gauche et p étant premier avec k , p divise (k parmi p)

REM (k parmi p ) = C(p,k) coeff binomial.