Injection, Surjection

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 10:44

Bonjour, je me demandais s'il existait un moyen mnémotechnique pour savoir si une fonction est injective et/ou bsurjective ?

par **beagle** » 16 Fév 2010, 11:15

le plus facile pour moi c'est le dessin avec deux patates et des flèches.
QS article wikipedia.
Je préfère cela à une phrase de texte.

Maintenant si c'est pour ne pas confondre les deux mots.
Surjouer un texte c'est un acteur qui en fait un peu trop.
La surjection tous les éléments d'arrivés ont leur flèche, et il y en a mème trop, certains ont deux flèches,...

par **oscar** » 16 Fév 2010, 11:48

injection surjection

http://yfrog.com/b6injectionsurjectionj

par **beagle** » 16 Fév 2010, 12:33

surjection,
surjoué OK,
mais en restant plus maths,

surajouter
devrait suffire à en faire plus dans la surjection.

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 13:33

Dinozzo13 a écrit:Bonjour, je me demandais s'il existait un moyen mnémotechnique pour savoir si une fonction est injective et/ou bsurjective ?

Je ne comprends pas trop, tu cherches un moyen mémotechnique pour retenir leur définition ou une méthode pour savoir comment montrer si une fonction est injective ou surjective?

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 14:05

Quelque chose qui permettrais de voir directement si une fonction est injective ou surjective

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 14:13

Vu la diversité des fonctions qu'on peut créer, ça risque d'être difficile d'avoir une méthode globale. Cela dit dans R on a quel que résultats qui évitent d'avoir à repasser par les définitions.
Par exemple, une application de R dans R strictement monotone est injective (la réciproque n'est bien entendue pas vraie).
Pour la surjectivité dans R, un tableau de variation suffit généralement.

Attention a ne pas oublier que les notions d'injectivité et de surjectivité dépendent très fortement des ensembles de départ et d'arrivé.

Ainsi par exemple, la fonction carré

est :

Surjective non injective de R dans R+
Injective non surjective de R+ dans R
Injective et surjective (=bijective) de R+ dans R+
Ni injective ni surjective de R dans R.

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 14:19

Nightmare a écrit:Surjective non injective de R dans R+
Injective non surjective de R+ dans R
Injective et surjective (=bijective) de R+ dans R+
Ni injective ni surjective de R dans R.

On peut retenir que dans le cas de la surjection on a plus d'élément au départ qu'à l'arrivée ?
Et dans l'injection qu'on a plus d'élément différents à l'arrivée qu'au départ ?

Quand tu dis strictement monotone, c'est qui n'est pas constante ?

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 14:24

Dinozzo13 a écrit:On peut retenir que dans le cas de la surjection on a plus d'élément au départ qu'à l'arrivée ?
Et dans l'injection qu'on a plus d'élément différents à l'arrivée qu'au départ ?

Surjection => "plus" d'élément dans l'ensemble de départ que dans l'ensemble d'arrivé

Injection => "plus" d'élément dans l'ensemble d'arrivé que dans l'ensemble départ.

Je mets entre guillemet car, pour des ensembles infinis, avoir "plus" d'élément qu'un autre ou moins n'a pas vraiment de sens, à part celui justement défini par les notions de surjection et d'injection, à savoir qu'on dit qu'un ensemble (éventuellement infini) a plus (resp. moins) d'élément qu'un autre lorsqu'il existe une surjection (resp. une injection) de cet ensemble dans l'autre.

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 14:26

Et bijection autant d'élément dans les deux ensembles.

Aussi, tu montreras que

et

ont "autant" d'éléments, mais qu'ils en ont tous les deux moins que

(c'est un peu difficile à montrer au premier abord, tu pourras le faire plus tard).

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 14:31

Nightmare a écrit:Et bijection autant d'élément dans les deux ensembles.

En effet car une bijection n'est ni plus ni moins qu'une injection et une surjection :++:

Nightmare a écrit:Aussi, tu montreras que et ont "autant" d'éléments, mais qu'ils en ont tous les deux moins que (c'est un peu difficile à montrer au premier abord, tu pourras le faire plus tard).

Je suppose que tu veux dire que

et

ont moins d'éléments que

?
Il était en effet sous-entendu que "plus d'élément" d'un ensemble indénombrable n'a pas vraiment de sens (j'ai même failli hésiter à l'employer ^^).

h: Ca alors, comment sais-tu que

et

ont autant d'élément s'ils sont tous les deux infinis ???

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 14:32

Eh bien il s'agit de démontrer que Q et N sont en bijection (ou autrement dit, que Q est dénombrable).

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 14:34

Je vois pas comment

pourrait-être dénombrable

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 14:42

Brève idée : Un rationnel, c'est un quotient de deux entiers...

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 14:45

oui c'est ce que je me suis dit, mais il existe un nombre infini d'entiers alors je vois vraiment pas, ça me dépasse peut-être ?

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 15:13

On s'en fiche qu'il y ait une infinité d'entiers, il y aussi une infinité de rationnel. Ce qu'on veut montrer c'est que c'est le même type d'infini, c'est à dire qu'ils ont le même nombre d'élément au sens où à chaque rationnel on peut associer un unique entier (autrement dit, on peut numéroter les rationnels).

L'idée que je t'ai donnée permet de voir qu'il y a "moins" de rationnels que de couples d'entiers (a,b) avec a dans N et b dans N* (en fait, on a aussi les rationnels négatifs, mais je te laisse montrer qu'il y a autant de rationnels que de rationnels positifs. Je sais, ça peut être assez frustrant...)
En terme technique, il existe une surjection de Q dans NxN*, ou une injection de NxN* dans Q.

Maintenant, on peut voir qu'il y a autant d'entiers que de couples de NxN* puisque tout entier n peut se décomposer de manière unique en produit de facteurs premiers

, donc sous la forme

. (puisque

est un nombre pair et le reste du produit forme un nombre impair).

En conclusion, Q a moins d'éléments que NxN* et ce dernier a autant d'élément que N. Donc (à justifier) Q à moins d'éléments que N. Mais N a lui même moins d'éléments que Q (puisqu'il est inclus dedans). On en conclut qu'ils ont autant d'éléments.

En fait ma dernière conclusion est loin d'être triviale dans le cas général, à savoir que si un ensemble A est en injection avec B et si B est en injection avec A alors les deux sont en bijection. C'est évident pour les ensembles finis, plutôt simple pour Q et N (je te laisse le prouver), un peu plus dur pour des ensembles quelconque. Ce théorème est dit de Cantor-Bernstein.

par **Dinozzo13** » 16 Fév 2010, 15:33

Wow c'est une autre culture mathématique ça !
Je dois dire que malgré une forte impression, cela semble très intéressant, merci beaucoup pour ce complément d'information ! :++:

par **Sylviel** » 16 Fév 2010, 16:17

Une manière intuitive de le voir est de voir que Z et Z² sont en bijection (fait un "escargot" partant de zéro et numérote chacun des points du plan ayant des coordonéees entières).

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