Injection et surjection

[GeorgeB]

Bonjour


J'ai quelques questions a poser a propos de l'injection et la surjection des fonctions :

1) Soit f une application de R dans R telle que pour tout x réel fof(x)=x montrer que f(x)=x sur R.

Je n'y arrive pas même si le résultat me paraît logique :mur:

2) Soi f une application de E dans F et g une application de F dans G, montrer que si fogof est bijective, alors f et g le sont aussi.

J'ai pu montrer que f était bijective, mais comment continuer ensuite ?

Je vous remercie !

[oscar]

injection surjection


http://yfrog.com/j0injectionsurje

[Nightmare]

Salut,

1) est faux, contre exemple f(x)=1/x (et f(0)=0)

[oscar]

injection surjection


http://yfrog.com/4cinjectionsurje

[Doraki]

Salut,
1) est faux, contre exemple f(x)=1/x (et f(0)=0)

ou aussi f(x) = -x

Pour le 2), on espère que g va de F dans E, et on peut s'en sortir en rappelant qu'une composée de 2 bijections est une bijection.

[GeorgeB]

Pardon, c'est avec f croissante

Pour la deuxième j'ai trouvé, j'ai introduit la fonction réciproque de f.

[GeorgeB]

Bon alors la première question est :

Soit f une application croissante de R dans R et telle que pour tout x réel fof(x)=x

Montrer que f ne peut être que l'identité.


Je n'y parviens toujours pas, quelqu'un pourrait-il me donner une indication s'il vous plait ?

Merci d'avance.

[Nightmare]

Assez simplement : Suppose qu'il existe y tel que f(y) soit différent de y.

Si f(y) < y , alors puisque f est croissante fof(y) < f(y) ie y < f(y).
Si f(y) > y alors fof(y) > f(y) ie y > f(y) ...

[Dijkschneier]

Une démonstration par l'absurde conviendrait le mieux. Et à un moment donné, il faut procéder par disjonction des cas.

Edit : devancé par Nightmare.
A noter qu'il faut faire référence à la bijectivité de l'application f, sans quoi elle ne serait strictement croissante.

[benekire2]

Pour la question 2, bien que tu l'ai réussi , il y avais une autre méthode, assez alambqiué, où l'on remarque que gof injective et f surjective => g injective, et un résultat similaire pour la surjection de gof. Bien sûr c'est vachement plus dur mais ca met en évidence un lemme qui peut resservir.

[Ben314]

Salut,

Pardon, c'est avec f croissante
Pour la deuxième j'ai trouvé, j'ai introduit la fonction réciproque de f.

Il me semble bien que, si pour démontrer que f est bijective, tu utilise dés le départ la fonction réciproque de f, ben comme preuve, ça vaut pas chipette...

Par contre, la méthode suggérée par Benekire marche (mais il a plus simple : "fog injective => g injective" et "gof surjective => g surjective" sont immédiats et suffisants ici)

[oscar]

surjection injection




http://yfrog.com/2tsurjectinetinje

[benekire2]

Salut,

Je crois plutôt qu'il a "bien" résolu son exo et qu'il a commencé a montrer proprement que f est injective et surjective ie bijective, ce sont des résultats de cours, si (fog)of est injective alors f aussi et si fo(gof) est surjective alors f aussi.

Par contre c'est soit on fintroduit f^-1 et on conclu, soit on utilise ce que j'ai dit plus haut, mais je vois pas comment s'en sortir qu'avec les propriétés cités sur ce message (et celui de ben .. )

GeorgeB dit nous comment tu as fait !