Inégalité trigo

[t.itou29]

Bonjour,
Je devais prouver l'inégalité suivante:

Jusqu'à là pas de problème l'exercice était guidé, mais on me demande pourquoi cette inégalité améliore celle-ci :

À part une question de précision je vois pas trop ?
Merci

[Luc]

Bonjour,

il faut donner un sens précis à "améliorer l'inégalité". Effectivement, cela à un rapport avec la notion de précision. Ici il s'agit d'encadrer x. Améliorer l'inégalité, cela veut dire amincir/réduire l'intervalle dans lequel tu encadres x, tant qu'elle reste vraie bien sûr.

Donc dire que la première inégalité est meilleure que la deuxième signifie ici que



ce qui est vrai.

Une autre question intéressante sur les encadrements (au sens large) est l'optimalité : le cas d'égalité se produit-il? Ici ce sont des inégalités strictes, donc la question ne se pose pas.

[Black Jack]

Il faut, je pense, d'abord démontrer que les 2 lignes d'inéquations sont correctes et ensuite :

Montrer que 3.sin(x)/(2+cos(x) est plus "proche" de x que ne l'est sin(x)
Donc montrer que, sur ]0 ; Pi/2[, on a x - 3sin(x)/(2+cos(x)) <= x - sin(x)
donc que sur ]0 ; Pi/2[, on a 3sin(x)/(2+cos(x)) > sin(x)

Et pour l'autre borne, montrer que 2/3.sin(x) + 1/3.tg(x) est plus "proche" de x que ne l'est tg(x)
Donc montrer que, sur ]0 ; Pi/2[, on a 2/3.sin(x) + 1/3.tg(x) - x <= tg(x) - x
donc que ]0 ; Pi/2[, on a 2/3.sin(x) + 1/3.tg(x) <= tg(x)

:zen:

Edit : Oups, double emploi. :happy2:

[t.itou29]

Merci à vous deux ! je vais esssayer de le montrer, je renvoie un message quand j'ai réussi (si j'y arrive!)

[t.itou29]

C'est bon:la première inégalité est équivalente à et la deuxième à qui sont vérifiées pour tout x de I.