Inégalité de Bernouilli (récurrence)

[Cloaudray]

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur l'inégalité de Bernoulli sur lequel je bloque quelque peu...
J'ai réussi sans problème à démontrer la propriété mais je bloque complètement sur la question b.
Je suppose que c'est un raisonnement du genre "tel nombre est positif donc tout ça est supérieur", ou "pour passer de l'inégalité à cette ligne on a fait telle opération", mais j'ai beau me creuser la tête je ne trouve pas... (voilà qui est de bon augure pour le reste de l'année!)

Voici l'énoncé:
Soit a un réel strictement positif.
a- Démontrer par récurrence que, pour tout entier ,
b- En déduire que pour tout entier naturel n non nul, et que


J'espère avoir été le plus clair possible, merci d'avance à toutes les âmes charitables ayant une idée à proposer

[Carpate]

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur l'inégalité de Bernoulli sur lequel je bloque quelque peu...
J'ai réussi sans problème à démontrer la propriété mais je bloque complètement sur la question b.
Je suppose que c'est un raisonnement du genre "tel nombre est positif donc tout ça est supérieur", ou "pour passer de l'inégalité à cette ligne on a fait telle opération", mais j'ai beau me creuser la tête je ne trouve pas... (voilà qui est de bon augure pour le reste de l'année!)

Voici l'énoncé:
Soit a un réel strictement positif.
a- Démontrer par récurrence que, pour tout entier n>/= 1, (1+a)^n >/= 1 + na
b- En déduire que pour tout entier naturel n non nul, (1+1/a)^n >/= (1/a)^n + n/[a^(n-1)] et que (n+1)^n >/= 2n^n

PS- Par >/= j'entend "supérieur ou égal"

J'espère avoir été le plus clair possible, merci d'avance à toutes les âmes charitables ayant une idée à proposer

Ecris >= (sans le/) ou, mieux,

car a est strictement positif


etc ...
Ensuite pose

[Cloaudray]

Merci beaucoup! J'ai tout compris sauf le fait de remplacer a par 1/a (dans la première ligne de votre démonstration, pourquoi inverser a ne change-t-il pas l'inégalité?

[Carpate]

Merci beaucoup! J'ai tout compris sauf le fait de remplacer a par 1/a (dans la première ligne de votre démonstration, pourquoi inverser a ne change-t-il pas l'inégalité?

On ne remplace pas a par 1/a mais on divise par a strictement positif

[Cloaudray]

J'ai compris! Merci beaucoup pour votre aide