Hauteur et médiane dans un triangle quelconque

[kin1]

Bonjour!

Je cherche actuellement des formules simples pouvant donner la hauteur et la médiane dans un triangle quelconque, et ce connaissant uniquement les trois longueurs du triangle.

En ce qui concerne la médiane, j'ai trouvé ce qu'il faut sur wikipedia... https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... C3%A9diane

J'ai trouvé sur ce site une formule pour la hauteur (http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ ... lQuelh.htm), mais qui ne fonctionne que si cette dernière se trouve "à l'intérieur" du triangle (cf schéma: https://gyazo.com/ec6676a7a7e37bcf34865f11ee50e4ce ) .
"Erreur math" dans le cas inverse.

Connaissez-vous une formule simple pour me dépanner?

Merci d'avance pour votre aide!

[Lostounet]

Bonjour!

Je cherche actuellement des formules simples pouvant donner la hauteur et la médiane dans un triangle quelconque, et ce connaissant uniquement les trois longueurs du triangle.

En ce qui concerne la médiane, j'ai trouvé ce qu'il faut sur wikipedia... https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... C3%A9diane

J'ai trouvé sur ce site une formule pour la hauteur (http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ ... lQuelh.htm), mais qui ne fonctionne que si cette dernière se trouve "à l'intérieur" du triangle (cf schéma: https://gyazo.com/ec6676a7a7e37bcf34865f11ee50e4ce ) .
"Erreur math" dans le cas inverse.

Connaissez-vous une formule simple pour me dépanner?

Merci d'avance pour votre aide!

Salut,

Oui !
Tu peux toujours appliquer le théorème de Stewart (ce qui revient à faire deux coups d'Al-Kashi/produit scalaire). Notons a, b et c les cotés du triangle quelconque. (a est le coté opposé au sommet A, etc...)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... de_Stewart


La médiane et la hauteur sont deux céviennes particulières (segment joignant un sommet avec un point du coté opposé). Si tu appliques le théorème de Stewart à la médiane, tu trouves le théorème de la médiane (ou d'Appolonius) https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... C3%A9diane
On en déduit donc que pour une médiane issue de A:



Sinon, une façon cool d'exprimer la hauteur en fonction des cotés c'est de combiner la formule de Héron avec la formule Base*hauteur/2.

On sait que l'aire d'un triangle vaut A^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) qui est la formule de Heron (p est le demi-périmètre et a,b et c les longueurs des trois cotés).

Mais aussi A = Base*hauteur/2 = a*h/2 (si h est la hauteur issue du sommet opposé au coté a).

Donc:


(Si la hauteur est celle issue du sommet opposé à a).

[kin1]

Hey,
Merci de ta réponse rapide!
J'ai effectivement trouvé la formule de héron, qui est très pratique pour cette situation