Géometrie.

[minou]

Bonjour,
J'ai a peu près réussi mon exercice mais il me reste quelques questions non resolues :

(On sait qu'ABC est un triangle non rectangle, O le centre du cercle circonscrit au triangle, A1 le point diamétralement opposé à A sur le cercle et H le symétrique de A1 par rapport au milieu A' de [BC])

On me demande de préciser la nature du quadrilatère BHCA1 et en déduire à l'aide du "théorème de l'angle droit"(qui m'est inconnu) que (BH) est orthogonal à (AC) et que (CH) est orthogonale à (AB).

Et aussi de montrer que G(centre de gravité du tr ABC) est aussi le centre de gravité du tr AHA1. Et en déduire que G est un point du segment [OH] et que OH = 3 OG.

Merci d'avance.

[André]

Bonsoir !
Un joli problème de géométrie ! Et merci de nous laisser le schéma !

Nature de BHCA1 ?

Avec un si beau schéma, on voit évidemment que BHCA1 est un parallélogramme !
Il suffit de transformer le problème en qqch de plus simple... Une égalité entre vecteurs par exemple ! "Montrer que les vecteurs BH et A1C sont égaux" est plus claire que "montrer que BHCA1 est un parallélogramme".
Pars de BH = BA' + A'H = ...
C'est très rapide !

[André]

(BH) et (AC) sont orthogonaux

En voyant le schéma, on se dit "Ha oué ! C'est vrai... Je l'avais pas vu ! De la chance ?"

C'est plus simple que ça n'y paraît !

Déjà, on nous précise d'utiliser la question précédente...
On a donc (BH) et (A1C) parallèles... Il suffit donc de montrer que (A1C) et (AC) sont orthogonaux !
Evident, avec "le théorème de l'angle droit"... Je devine à quel théorème le pb fait allusion parce j'ai trouvé comment résoudre la question mais je ne l'ai jamais vu nommé comme tel ! ^^
En fait, le voici :
On considère un cercle de diamètre [XY] et un point Z sur ce cercle. Le théorème dit que XYZ est forcément rectangle en Z !
Voilà, à toi de continuer pour la suite ! (non mais ! il faut se débrouiller tout seul aussi !)
Bonne chance !

[André]

(CH) et (AB) sont orthogonaux

Exactement comme précédemment !

[André]

G est le centre de gravité de ABC... Montrer que G est aussi le centre de gravité de AHA1 ?! C'est à s'arracher les cheveux !!!

Traduisons la situation en égalité vectorielle, ce sera plus clair...
La notion de centre de gravité, ou plutôt de barycentre, se traduit par :
GA + GB + GC = 0 (OK ?)
Il faut donc montrer que GA + GH + GA1 = 0
Moi, je le vois plutôt comme :
GA + GB + GC = GA + GH + GA1
Il faut donc montrer que :
GB + GC = GH + GA1 (Toujours OK ?)
Partons de GH + GA1
Il faut du B et du C :
GH + GA1 = GB + BH + GC + CA1 (Encore là ?)
Il reste à supprimer BH + CA1... Tu peux le faire sans problème !
Bonne chance !

[André]

G est un point du segment [OH]

G est le gravité de AHA1... Je rappelle que le cdg d'un triangle est l'intersection des médianes !

OH = 3OG

Le centre de gravité d'un triangle est placé sur une médiane au "2/3 - 1/3"

Bonne chance !