Géométrie

[Liloupe]

Bonjour,

Je bute sur un nouvel exercice de géométrie dont voici l'énoncé :

On considère un triangle ABC rectangle en A. On donne AB=8 cm et AC=6cm.
M est un point quelconque de l'hypoténuse BC. On fera varier le point M sur le segment [BC].
La perpendiculaire à la droite (AB) passant par M coupe le segment [AB] en un point E.
La perpendiculaire à la droite (AC) passant par M coupe le segment [AC] en un point F.

1. Démontrer que quelle que soit la position du point M sur BC, le quadrilatère AEMF est un rectangle.

Pour cette question, j'ai écrit :
Nous savons que ;
- le triangle ABC est rectangle en A
- la droite (ME) est perpendiculaire à la droite (AB)
- la droite (MF) est perpendiculaire à la droite AC
Par conséquent le quadrilatère AEMF possède trois angles droits.
Or si un quadrilatère possède trois angles droits;
Alors c'est un rectangle.
Donc le quadrilatère AEMF est un rectangle, quelle que soit la position du point M sur (BC).

La démonstration est-elle suffisante ?

2. Trouver la position du point M pour laquelle la distance EF est minimale. Justifier.

Sur cette question, je bute vraiment. J'ai calculé la longueur du segment [BC] avec Pythagore, on obtient 10cm. Mais je ne vois pas du tout comment procéder pour trouver la position du point M pour que la distance EF soit minimale.

Merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter !

[mathelot]

1. Démontrer que quelle que soit la position du point M sur BC, le quadrilatère AEMF est un rectangle.

Pour cette question, j'ai écrit :
Nous savons que ;
- le triangle ABC est rectangle en A
- la droite (ME) est perpendiculaire à la droite (AB)
- la droite (MF) est perpendiculaire à la droite AC
Par conséquent le quadrilatère AEMF possède trois angles droits.
Or si un quadrilatère possède trois angles droits;
Alors c'est un rectangle.
Donc le quadrilatère AEMF est un rectangle, quelle que soit la position du point M sur (BC).

La démonstration est-elle suffisante ?

La démonstration est correcte mais incomplète.
est-ce que le quadrilatère ABBA possède trois angles droits ? (en M=B)

2. Trouver la position du point M pour laquelle la distance EF est minimale. Justifier.

on peut poser

et

i) une des deux configuration de Thalès donne une relation linéaire entre x et y.

ii) il y a une propriété des rectangles à utiliser

[Liloupe]

Effectivement, si le point M est confondu avec le point B, je ne peux plus parler d'angle droit. Mais du coup que dois-je rajouter pour que ma démonstration soit complète ?

Pour la deuxième question, je suis désolée mais je sèche toujours. Je vois la configuration de Thalès mais si je l'applique, j'obtiens :
CF/CA = CM/CB= FM/AB
ce qui revient à : x/6 = CM/10= y/AB
Et je ne vois pas quoi faire avec ça :cry: . En quoi cela m'aide-t'il à trouver la position du point M pour que la distance EF soit minimale ?

Merci d'avance !

[mathelot]

i) si tu veux faire dans le "formalisme" (l'abus de rigueur), ou tu considères une définition des rectangles qui fonctionne pour les quadrilatères aplatis, ou tu traites la position
de M ,en B et C, comme des cas particuliers.

ii) c'est bien. on a

y=(4/3)x

Peux tu calculer , en fonction de x ?

[paquito]

Pour la 1°, pas de problème;

pour la seconde, tu as EF =MA et la distance MA est minimale lorsque MA est la hauteur issue de A.

[mathelot]

suite à la remarque précédente, on s'achemine vers deux démonstrations (possibles)

[Liloupe]

Merci pour votre réponse. Mais pouvez-vous m'expliquer pourquoi la distance MA est minimale lorsque MA est la hauteur issue de A ?
D'après l'énoncé, il faut donner une valeur chiffrée pour la distance EF, non ?

[mathelot]

comme te le dit Paquito, c'est la définition du projeté orthogonal:

AH minimise la distance AM quand l'angle BMA est droit

i) Soit tu fais de la trigo quand M est en H (H projeté orthogonal de A sur [BC])
il faut montrer que le projeté H appartient au segment [BC]

ii) soit tu minimises la fonction

comme je le pensais au début.

je n'ai pas fait les calculs mais c'est sans doute un trinome en x.

(minimiser=déterminer le ou les minimum)

[mathelot]

D'après l'énoncé, il faut donner une valeur chiffrée pour la distance EF, non ?

oui.........................

[mathelot]

pour la seconde, tu as EF =MA

c'était le charme de l'exercice qu'elle trouve seule cette égalité ...

[Liloupe]

Merci pour votre aide mais je vous avoue que là je suis complètement perdue :cry:

J'ai essayé la solution avec Thalès, j'obtiens les y=4/3x mais la suite m'a l'air bien compliqué et je ne sais pas du tout où aller.

Et pour la solution avec la hauteur, je peux la tracer sur la figure mais je n'ai aucune valeur si ce n'est le côté [AB] mesurant 8 cm.

Cet exercice est un casse-tête pour moi :mur:

[mathelot]

deux méthodes

i) soit calculer fonction de x et trouver le minimum

ii) faire de la trigo avec H (sin,cos,tan)

dans cette méthode (2) tu connais a priori l'existence du minimum de AM
et la position de H



choisis la méthode la plus simple pour toi.

[Liloupe]

Merci d'avoir pris le temps de faire la figure, mais malheureusement je n'y arrive toujours pas.

J'avais bien remarqué que EF=AM étant donné que ce sont les diagonales du rectangle AEMF, mais je ne vois pas ce que ça m'apporte.

J'ai essayé avec la trigonométrie puisque j'ai encore plus de mal avec les fonctions mais sans succès.

Merci quand même pour le temps que vous avez pris et l'aide que vous m'avez apportée.

[mathelot]

ok,ok








calcule via le théorème de Pythagore.

[paquito]

c'était le charme de l'exercice qu'elle trouve seule cette égalité ...

Elle avait déjà remarqué cette égalité, mais de la à penser à la hauteur.....

[paquito]

Que de complications!! si AH est la hauteur issue de A et M un autre point de [BC] le triangle AHM est rectangle en H et son Hypoténuse est [AM] donc forcément AM>AH ; quand au calcul de AH, il suffit de calculer l'aire de ABC de 2 façons. Cet exercice est quand même faussement facile...

[mathelot]

quand au calcul de AH, il suffit de calculer l'aire de ABC de 2 façons. Cet exercice est quand même faussement facile...

oui,oui

i) ou elle peut calculer sin(C) de deux manières:



ii) faire ton calcul d'aire

iii) ou trouver le minimum du trinome

[Liloupe]

Si en plus il y a une histoire d'aire, vous m'avez définitivement perdue :mur:

[Liloupe]

L'aire du triangle ABC est de 24cm carré (6x8/2), c'est tout ce que j'ai réussi à faire, hourra !

[mathelot]

.......................