Géométrie

[t.itou29]

Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice:
Soit 5 point du plan situés à une distance d'au moins 1 l'un de l'autre, prouver qu'il existe deux points situés a une distance d'au moins .
Je pense voir comment le prouver mais j'aurai besoin de la démonstration d'une propriété:
Soit n points dans le plan situés à une distance d'au moins 1, la distance entre les deux points les plus éloignés est minimale lorsque les n points forment un polygone régulier de côté 1. (On peut remplacer 1 par un autre nombre)
Ça me paraît intuitif mais le démonstration doit assez compliquée, j'avais déjà posé cette question sans obtenir de réponses, je retente ma chance.
Merci

[LeJeu]

Bonjour,

Soit n points dans le plan situés à une distance d'au moins 1, la distance entre les deux points les plus éloignés est minimale lorsque les n points forment un polygone régulier de côté 1. (On peut remplacer 1 par un autre nombre)
Ça me paraît intuitif mais le démonstration doit assez compliquée, j'avais déjà posé cette question sans obtenir de réponses, je retente ma chance.
Merci

Ceci n'est vrai que si le nombre de point est impair,

sinon ce sont les polygones de Reuleaux qui minimise la distance maximale


Voici un lien vers un article à propos de périmètre et surface maximum de polygone
(contient l'illustration ci dessus)

Un article assez extraordinaire, ou des maximums sont trouvés par résolution de system sur ordi !

[chan79]

salut LeJeu et merci pour ce lien

[t.itou29]

Ceci n'est vrai que si le nombre de point est impair,

sinon ce sont les polygones de Reuleaux qui minimise la distance maximale


Voici un lien vers un article à propos de périmètre et surface maximum de polygone
(contient l'illustration ci dessus)

Un article assez extraordinaire, ou des maximums sont trouvés par résolution de system sur ordi !

Merci, intutitivement je pensais que c'était valable pour tout n mais non, par exemple si je prends 4 points quelle serait la configuration pour minimiser la distance si ce n'est pas un carré ? J'ai commencé à lire l'article mais je ne suis pas sûr que ce soit accessible pour un élève de première, je vais quand même essayer de comprendre les grandes lignes.
En parcourant l'article je suis tombé sur Maple, j'en avais déjà entendu parler auparavant c'est bien un logiciel de calcul formel ?

[LeFish]

C'est un logiciel de mathématiques qui te permet de faire du calcul formel et bien d'autres choses encores...
Mais ça coute cher :)

[t.itou29]

C'est un logiciel de mathématiques qui te permet de faire du calcul formel et bien d'autres choses encores...
Mais ça coute cher

Ah ok Au lycée on utilise xcas mais l'interface est pas ce qu'il y a de plus pratique, j'image que maple est plus pour le supérieur. Je viens de regarder le prix 100€ et dire que c'est le tarif étudiant !

[LeJeu]

salut LeJeu et merci pour ce lien

1) précision : pour n pair la solution des polygones de Reuleaux ci-dessus n'est valable que si n n'est pas une puissance de 2,
l'article donne l'octogone équilatéral maximum



Comme quoi les évidences sont trompeuses ....

le problème reste ouvert pour n = 16...

2) l'article donne comme périmètre maximum d'un polygone de diamètre 1 :


Quelqu'un saurait me dire comment ça se démontre ?

[Dlzlogic]

Bonjour LeJeu,

Quelqu'un saurait me dire comment ça se démontre ?

J'ai la démonstration du problème dont l'intitulé est le suivant :

Soit un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon unitaire.
Montrer que le produit des cordes allant d'un sommet à tous les autres sommets est égal au nombre de sommets.

Ca t'intéresse ?
Mais le calcul du périmètre que tu cherches est beaucoup plus simple
Doit le triangle de base un côté et de sommet O. Le côté de ce triangle est R, l'angle au sommet est 2.pi/N; sa base est donc 2.R.sin(pi/N).
Là, il s'agit d'un polygone régulier, par permutation circulaire, c'est le plus grand périmètre possible: un côté ne peut pas être plus grand que l'équivalent avec plusieurs côtés.