Géométrie complexe

[Anonyme]

Bonjour, j'ais un problème de mathématique que je ne comprend pas :
"On construit extérieurement à un triangle ABC trois triangles équilatéraux ABM, BCN et ACP dont les centres de gravité sont respectivement H, F et G. On se propose de démontrer que le triangle FGH est équilatéral et a même centre de gravité que le triangle ABC. On désigne par a, b, c, f... les affixes des points A, B, C, F... dans un repère orthonormal du plan.

a) Exprimer h en fonction de a, b, m.

b) Ecrire des relations analogues pour f et g."

J'ais essayé : h = (a+b+c)/3 et même chose pour f et g mais on me demande ensuite

" c) démontrer que g-h = e^(i*pi/3)"

Quelqu'un peut-il m'aider ? J'y pige rien...

edit "^" sgnifie "puissance"
"*" signfie "fois"
"/" sgnifie "diviser par"

[armor92]

Bonjour,

Tout d'abord H centre de gravité du triangle ABM se traduit par :
h = (a + b + m) / 3
De même on a:
f = (b + c + n) /3
g = (a + c + p) / 3

Pour démontrer que FGH est équilatéral, il faut montrer que :
g - h = e^(i*pi/3)*(f - h)
(et non pas g - h = e^(i*pi/3), comme indiqué dans ton message)

Le principe est donc de partir de l'expression de g - h et d'arriver par une suite de transformations à e^(i*pi/3) * (f - h)

ACP triangle équilatéral se traduit par :
p - a = e^(i*pi/3)*(c - a) (1)
CBN triangle équilatéral se traduit par :
c - b = e^(i*pi/3)*(n - b) (2)
BAM triangle équilatéral se traduit par :
b - a = e^(i*pi/3)*(m - a) (3)
ou encore
m - b= e^(i*pi/3)*(a - b) (4)

g - h = (c - b + p - m) / 3
On remplace p par a + e^(i*pi/3)*(c - a) d'après relation (1)
On remplace m par b + e^(i*pi/3)*(a - b) d'après relation (4)
g - h =
= (c - b + a + e^(i*pi/3)*(c - a) - b - e^(i*pi/3)*(a - b)) / 3
= (c - b + a - b + e^(i*pi/3)*(c - a) - e^(i*pi/3)*(a - b)) / 3
On remplace c - b par e^(i*pi/3)*(n - b) d'après relation (2)
On remplace a - b par e^(i*pi/3)*(a - m) d'après relation (3)
g - h = (e^(i*pi/3)*(n - b) + e^(i*pi/3)*(a - m) + + e^(i*pi/3)*(c - a) - e^(i*pi/3)*(a - b)) / 3
= e^(i*pi/3)*(n - b + a - m + c - a - a + b) / 3
= e^(i*pi/3)*(c - a + n - m) / 3
= e^(i*pi/3) * (f - h)

Pour démontrer que le triangle FGH a même centre de gravité que le triangle ABC, il faut démontrer que (f + g + h) / 3 = (a + b + c) / 3
Je te laisse finir...