Fonctions et suites - terminale

[Anonyme]

Bonjour à tous
J'ai encore un exercice de maths à faire pour lequel j'ai besoin d'aide alors je viens vous solliciter . Je me doute qu'en vue des vacances et des fêtes vous n'avez sûrement pas que ça à faire mais si vous pouviez m'aider à résoudre mon exercice ce serait vraiment gentil de votre part . Encore une fois je ne cherche pas des réponses toutes faites mais des explications, des pistes d'exploitation pour enfin arriver aux réponses demandées .
Voici l'énoncé :

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,i,j) d'unité graphique : 10cm.
Nous avons les fonctions f dérivables sur [0;+ l'infini [ vérifiant les conditions suivantes :
.Pour tout réel x supérieur ou égal à 0, f'(x)=-2x [fois] f(x)
.f(0)=0

Il existe une unique fonction f vérifiant les conditions ci-dessus : admis.
Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas h égal à 0,1.
On obtient ainsi une suite de points Mn(xn,yn).

On pose x0=0 et y0=1.
On rappelle que si f est définie et dérivable sur un intervalle I et si a appartient à I alors il existe une fonction epsilon telle que pour tout h tel que a+happartient à I :

f(a+h)=f(a)+h [fois] f'(a)+h [fois] epsilon de (h) avec lim epsilon de (h)=0 quand h tend vers 0. (1)

1. Pour tout entier n appartenant à N, exprimer xn+1 en fonction de xn
2. en déduire xn en fonction de n en justifiant.
3. Pour tout entier n appartenant à N, exprimer f(xn+1) en fonction de xn et f(xn). utiliser la relation (1).
4. Pour tout n de N on pose yn= f(xn). Donner une approximation de yn+1 en fonction de yn et de n.
5. Soit (xn) et (yn) les suites définies par :

n,xn= 0,1n
y0=1
pour tout n appartenant à N,yn+1=yn(1-0.02n)


a. compléter le tableau suivant où les valeurs de yn seront arrondis sous forme décimale à 10^-3 près :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xn
yn

b. placer dans le repère (O,i,j) donné en annexe, dans lequel on a représenté sur l'intervalle [0;1.5] l'unique fonction solution du problème différentiel posé en tête de l'exercice, les points Mn pour (0) inférieur ou égal à (n) inférieur ou égal à (15), puis tracer la ligne polygonal joignant ces points.
(je n'ai pas de moyen de reproduire la courbe)

c. quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation d la suite (yn) et sur sa convergence ?

6a. POur tout entier naturel n<51, on pose P(n) : "(0) < (yn) inférieur ou égal à (1)"
Montrer que p(0) est vraie. (je l'ai déjà fait)
Montrer que p(n) est héréditaire dans l'ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 51.
Que peut on en déduire ?

b. Etudier le sens de variation de la suite (yn)
c. alculer y51
d. la suite (yn) est elle convergente ? justifier

Merci d'avance :)

[romani01]

Salut.
Tu t'es arreté ou?

[Anonyme]

Salut romani
ben en fait j'ai rien fait j'ai rien compris à ca, peux tu m'aider s'il te plait ?

[romani01]

Salut.
Pour commencer :
et et .Si tu continues qu'obtiens-tu?

[Anonyme]

eh bien j'aurai x(4)= x(3) + h
donc cela voudrait dire que x(n+1)= x(n) + h ?

[romani01]

Bien sur.Tu as donc une suite....

[Anonyme]

oui mais comment je fais pour obtenir xn en fonction de x ?
et pour la question suivante ?

[Anonyme]

s'il vous plait ?

[romani01]

Salut Ababo.
Tu as donc une suite arithmétique de raison h.Tu sais écrire son terme général en fonction de n ,c'est
l'objet de la 2eme question.
2°). et comme xo=0 .
3°).Là,il faut te débrouiller un petit peu.Tu utilises l'expression f(a+h)=..pour trouver .

[Anonyme]

merci romani pour ton aide, j'espère que tu seras là ce soir car je dois rendre cet exercice demain :)
j'utilise f(a+h)=f(a)+h [fois] f'(a)+h [fois] epsilon de (h)
--> f(x(n)+h)=f(x(n))+h [fois] f'(x(n))+h [fois] epsilon de (h)
or on sait que x(n+1)= x(n) + h
donc :
f(x(n+1))=f(x(n))+h [fois] f'(x(n))+h [fois] epsilon de (h)

est ce cela ?

[Anonyme]

j'ai fais la suite :

4)
On a y(n) = f(x(n))
et on a f(x(n+1))=f(x(n))+h [fois] f'(x(n))+h [fois] epsilon de (h)
--> f(x(n+1)) -h [fois] f'(x(n))-h [fois] epsilon de (h) =f(x(n))

donc : y(n) = f(x(n+1)) -h [fois] f'(x(n))-h [fois] epsilon de (h)
= f(x(n)+h) -h [fois] f'(n[fois]h)-h [fois] epsilon de (h)

5a) n l 0 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 l 11 l 12 l 13 l 14 l 15l
xn l 0 l0.1l 0.2 l0.3 l0.4 l0.5 l0.6 l0.7 l0.8 l0.9 l1.0 l1.1 l1.2 l1.3 l1.4 l1.5l
yn l 1 l 1 l 0.98l0.941l0.885l0.814l0.733l0.645l0.555l0.466l0.382l0.306l0.239l0.182l0.135l0.097l

5b) je n'y arrive pas, je sais juste que la solution est de la forme : F(x)=k[fois]exp(ax) avec k un réel quelcquonque

c) J'ai pas tracé ce qu'il faut mais je sais que on peut conjecturer que la suite (yn) est décroissante et converge vers 0

[Anonyme]

6a) j'ai fais ceci :

Posons pour tout n entier naturel (strictement inférieur à) 51, P(n):" 0(strictement inférieur à) y(n) (inférieur ou égal à) 1"
Initialisation : n=0
on sait que y(0)=1 donc : 0(strictement inférieur à) 1 (inférieur ou égal à) 1
donc P(0) est vraie

Hérédité
Soit k un entier naturel tel que P(k). Montrons P(k+1)
0(strictement inférieur à) y(k) (inférieur ou égal à) 1 d'apres l'hypothèse de réccurence
--> 0(strictement inférieur à) y(k+1) (inférieur ou égal à) 1
et y(k+1) = k(n)[fois](1-0.02[fois]k)
donc : 0(strictement inférieur à) y(k+1) (inférieur ou égal à) (1-0.02[fois]k)
Or, pour tout n
k entier naturel (strictement inférieur à) 51, (1-0.02[fois]k) est strictement positif et inférieur ou égal à 1
donc P(n) est héréditaire

Conclusion :pour tout n entier naturel (strictement inférieur à) 51, 0(strictement inférieur à) y(n) (inférieur ou égal à) 1

On en déduit que (y(n)) est minorée par 0

[Anonyme]

6b)
On fait : y(n+1) - y(n)
--> y(n) [fois] (1-0.02 [fois] n) - y(n) = y(n) - (0.02 [fois] n) [fois] y(n) - y(n)
= -(0.02 [fois] n)[fois] y(n)
--> le résultat est négatif donc on en conclut que la suite (y(n)) est décroissante

c) je ne l'ai pas faite

d) On a montré précédement que la suite (y(n)) est décroissante et minorée par 0, or toute suite décroissante et minorée converge, on en déduit que (y(n)) est convergente

Voilà, peux tu m'aider pour ce que je n'ai pas réussi s'il te plait et me dire si j'ai des fautes ? :)

[romani01]

Salut Ababo.
Tout d'abord on te dit que tend vers 0 quand h--->0 donc :
mais on sait que f'(x)=-2xf(x) donc .Tu remplaces dans et tu obtiens et tu connais .Tu remplaces et tu mets en facteur.

[Anonyme]

Salut romani, alors :

f(x(n+1) = f(x(n)) - 2h[fois]nh[fois]f(x(n))
= f(x(n) [fois] ( -2nh² + 1 )

c'est ça ?

[Anonyme]

et peux tu me dire si tout ce que jai fais est bon s'il te plait ? :)
et dans l'énoncé au tout début c'est pas f(0)=0 mais f(0)=1

[romani01]

et peux tu me dire si tout ce que jai fais est bon s'il te plait ?
et dans l'énoncé au tout début c'est pas f(0)=0 mais f(0)=1

Pour la récurrence,je pense que l'hérédité n'est pas correcte.
Tu as supposé :hypothèse de récurrence .
Tu pars de et tu continues.

[Anonyme]

je ne vois pas comment je peux faire avec ceci?

et ce que jai fais précédemment et le reste est-il juste ?

[romani01]

je ne vois pas comment je peux faire avec ceci?

et ce que jai fais précédemment et le reste est-il juste ?

n est un entier naturel ,s'il est strictement inférieur à 51 on peut très bien écrire <= à 50;
Je t'ai dit que ton raisonnement par récurrence n'est pas correct.
Ta réponse pour les variations de (yn) est correcte.
La suite (yn) étant strictement décroissante et BORNEE est convergente.Voilà pour ce que tu as fait.
Tu m'as dit que f(0)=1 et non f(0)=0 .Je ne vois pas ou j'ai utilisé cela.Allez,termine l'hérédité.Bon
courage.

[Anonyme]

c'était au cas où on l'utilisait.
bon je vais revoir mon hérédité, en tous cas merci beaucoup de ton aide Romani c'était très gentil de ta part, bonne continuation :)