Soit f l'application de N*dans N* qui à tout entier associe la somme des carrés de ses chiffres en écriture décimale.
Etant donné un naturel a non nul, on considère la suite (Un) définie par : {U(0)=a , U(n) = f(U(n-1)).
On se propose de montrer que, quel que soit l'entier a choisi:
- soit , pour tout entier n, U(n)=1 à partir d'un certain rang.
- soit il existe un rang N tel que U(n)=4 et qu'àpartir de ce rang la suite soit périodique.
nombre a p chiffres p>3
on a montrer que 81p<10 ^{p-1}
en deduire que si Un s'écrit avec p chiffres alors f(Un) s'écrit avec (p-1) chiffres ...
Montrer quil existe un rang k tel que Uk