Fonction Ln(x)

[maths38]

Bonjours,

Je suis en terminale ES, et j'ai un DM à faire pendant ces vacances.
Il porte sur la fonction Ln(x)

PARTIE A :

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0, +inf[ par : g(x)= x²-1+2ln(x)
a) Déterminer les limites de la fonction g au bornes de son intervalle de définition
b) Etudier le sens de variation de g
c) De l'étude précédente, déduire le signe de g(x), en fonction de x.

PARTIE B :

Soit f la fonction définie sur ]0,+inf[ par : f(x)= ln(x)-(ln(x))/x²
a) Montrer que, pour tout x appartenant à ]0,+inf[, f'(x) et g(x) sont de même signe.
b) Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de déf (on peut écrire f(x) sous la forme [ln(x)][u(x)])
c) Dresser le tableau de variation de f
d) On note réspectivement Cf et T les courbes représentatives des fonction f et ln dans un repère orthonormal. Etudier la position de Cf, par rapport à T.

Réponses :

a)lim g(x) = -INF
x->0
lim g(x) = +INF
x->+inf

b) x 0 1 +inf
CROISSANTE
0

c) x=1 quand g(x)=0 (son minimum) Donc g(x)>0

PARTIE B :

a) Je ne sais pas
b) lim f(x) = -INF
x->0

lim f(x)= +INF
x->+inf

c) CROISSANTE et quand x=1, g(x)=0
d)Je ne sais pas

Qui peux m'aidé ??!!!!

Merci d'avance

[bombastus]

Bonjour,

PARTIE A :
a) ok
b) Ta réponse est incomplète, la fonction est effectivement croissante (mais pourquoi?) et si ce que tu as écrit est un tableau de variation, il manque des choses...
c) je n'ai pas bien compris, tu dis que g(1)=0 donc la fonction est positive sur ]0, +inf[ ?
La fonction n'est pas toujours positive...

PARTIE B
a) as-tu calculé f'(x)? as-tu étudié le signe de f'(x) et de g(x)?
b) ok

[maths38]

Pour la PARTIE A, b), j'ai montré que en x=1, g(x)=0 dans le tableau de variation. De plus, g(x) est croissante, car x² est croissante (non ?) et ln(x) et toujours croissant sur [0.+inf[.

Pour la PARTIE B, a) je n'y arrive pas trop, j'ai pas trop d'idée !!
Oui en effet j'ai calculer f'(x), mais j'ai un peu de mal !!!
f(x) = ln(x)-(ln(x))/x²
Donc f'(x) = ln(x) - u/v non ?? est - ce la bonne formule ?
Je ne pense pas car ceci donne : 1/x - (1/x*x²)-(ln(x)*2x) / x^4
Donc f'(x) = 1/x - (1/x-ln(x) / x^4 = ln(x) / x^4

Ce n'est pas ça ?!!

Mais je ne comprend pas pourquoi il me demande de faire : f'(x) = g(x) / x^3

POUR PARTIE A) c) en effet il me semble que la fonction est négative de 0 à 1 (à cause de ln) mais je ne comprend pas la question, je n'ai jamais répondu à ce genre de question !!!! j'ai éssayé mais bon...
Ou je pense que pour démontré ceci il faut dire : x connait un minimum en O or on sait que la foncton Ln est négative de 0 à 1, donc la fonction g(x) est négative sur [0.1] et positive sur [1.+inf[
???

[bombastus]

Pour la PARTIE A, b), j'ai montré que en x=1, g(x)=0 dans le tableau de variation. De plus, g(x) est croissante, car x² est croissante (non ?) et ln(x) et toujours croissant sur [0.+inf[.

Oui, effectivement, des fois j'ai tendance à me compliquer la vie, mais c'est une somme de fonction croissante donc g est croissante.

POUR PARTIE A) c) en effet il me semble que la fonction est négative de 0 à 1 (à cause de ln) mais je ne comprend pas la question, je n'ai jamais répondu à ce genre de question !!!! j'ai éssayé mais bon...
Ou je pense que pour démontré ceci il faut dire : x connait un minimum en O or on sait que la foncton Ln est négative de 0 à 1, donc la fonction g(x) est négative sur [0.1] et positive sur [1.+inf[
???

Non, ça ne veut pas dire grand chose : "x connait un minimum en O"... Mais sinon tu as la bonne réponse, c'est juste une question de rédaction.
Mais pour répondre à cette question, il te suffit de regarder le tableau de variation : tu connais les limites de ta fonction en 0 et en -inf, et tu sais que ta fonction est strictement croissante, donc quand est-elle négative? positive? (donc quand change-t-elle de signe?)

Pour la PARTIE B, a) je n'y arrive pas trop, j'ai pas trop d'idée !!
Oui en effet j'ai calculer f'(x), mais j'ai un peu de mal !!!
f(x) = ln(x)-(ln(x))/x²
Donc f'(x) = ln(x) - u/v non ?? est - ce la bonne formule ?
Je ne pense pas car ceci donne : 1/x - (1/x*x²)-(ln(x)*2x) / x^4
Donc f'(x) = 1/x - (1/x-ln(x) / x^4 = ln(x) / x^4

C'est la bonne formule mais tu as fait des erreurs de calcul :
(1/x*x²) = x et non 1/x
et attention aux dénominateurs...

[maths38]

Donc pour la PARTIE A)c) je doit dire (si j'ai bien compris) :
ln<0 sur [0.1] De plus la limites de g(x) quand x tend vers 0 est de -INF, ce qui prouve que x est négatif sur [0.1]

ln>0 sur [1.+inf[ De plus la limite de g(x) quand x tend vers +INF est de + INF, ce qui montre bien que la fonction g(x) est positive sur [1.+ INF[

ET pour PARTIE B) a)
f'(x) = 1/x - (1/x*x²)-(ln(x)*2x) /x^4
f'(x) = 1/x - (x-2ln(x)) / x^4

Je n'arrive pas à simplifier !!!!!
:triste:

[bombastus]

Donc pour la PARTIE A)c) je doit dire (si j'ai bien compris) :
ln0 sur [1.+inf[ De plus la limite de g(x) quand x tend vers +INF est de + INF, ce qui montre bien que la fonction g(x) est positive sur [1.+ INF[

Non, toujours pas...
tu ne peux pas étudier le signe de chaque terme de f séparément, c'est une somme et si ils ne sont pas tous de même signe sur les mêmes intervalles, tu ne peux rien conclure.
Mais uniquement avec le tableau de variation, tu peux trouver le signe de f :
relis ce que j'ai écrit plus haut.

ET pour PARTIE B) a)
f'(x) = 1/x - (1/x*x²)-(ln(x)*2x) /x^4
f'(x) = 1/x - (x-2ln(x)) / x^4

Je n'arrive pas à simplifier !!!!!
:triste:

Et si tu réduisais au même dénominateur?

[maths38]

Ba elle change de signe quand x=0 non ? elle est négative et après 0 elle devient positive.

Pour B) a) si je réduit au même dénominateur ceci ne simplifie rien, enfin je pense !

au départ, j'avais simplifier en rayant x² et 2x donc il me reste : 1/x - (1/x-ln(x))/x^4 et ensuite j'y avait mis sur le même dénominateur : 1/x - 1/x - ln(x) / x4
Ce qui donne : ln(x)/x^4 ceci est donc faux ?

Oui sinon ceci donnerait en faisant autrement :

1/x^4 - (x-2ln(x))/x^4 = -2ln(x)/x^4

[bombastus]

Ba elle change de signe quand x=0 non ? elle est négative et après 0 elle devient positive.

Non, je crois que tu confonds x et f(x)!
Pour quelle valeur de x on a : f(x)=0 ?
Avant cette valeur, quel est le signe de f(x)?
Et après cette valeur?

Pour B) a) si je réduit au même dénominateur ceci ne simplifie rien, enfin je pense !

au départ, j'avais simplifier en rayant x² et 2x donc il me reste : 1/x - (1/x-ln(x))/x^4 et ensuite j'y avait mis sur le même dénominateur : 1/x - 1/x - ln(x) / x4
Ce qui donne : ln(x)/x^4 ceci est donc faux ?

Tu as ré-écrit la même chose qu'au départ, et je t'avais dit que c'était faux.... :briques:

Oui sinon ceci donnerait en faisant autrement :
1/x^4 - (x-2ln(x))/x^4 = -2ln(x)/x^4

C'est un peu moins horrible que ton premier calcul mais c'est faux aussi...
1/x n'est pas égal à 1/x^4 !!!
1/x = .../x^4
Essaie de trouver ce qu'il doit y avoir à la place des pointillés.

[maths38]

Pour x=1 on a f(x)=0 !
Avant cette valeur f(x) est négatif, après cette valeur, f(x) est positive !!

[bombastus]

Pour x=1 on a f(x)=0 !
Avant cette valeur f(x) est négatif, après cette valeur, f(x) est positive !!

Yes!!
il reste plus qu'à rédiger un peu et ce sera correct.

[maths38]

Ouf sa y est !! :happy2:
Merci beaucoup !!

Et vous n'avez aucune idée pour la Partie B) a) d)

Soit f la fonction définie sur ]0,+inf[ par : f(x)= ln(x)-(ln(x))/x²
a) Montrer que, pour tout x appartenant à ]0,+inf[, f'(x) et g(x) sont de même signe. [Vérifier que f'(x)=g(x)/x^3]
d) On note réspectivement Cf et T les courbes représentatives des fonction f et ln dans un repère orthonormal. Etudier la position de Cf, par rapport à T.

Pour B)a) je devais chercher ce que je mettrais à la place de vos pointillés :
1/x = (1/x) / x^4

1/x / x^4 - (x-2ln(x))/x^4 ???