Fonction

[Anonyme]

Bonjour , est ce que quelqun pourait m' aider pour l' exercice suivant svp.
On considere la fonction f definie sur R par f(x)=e^x * cos(x)
On appele Cf la representation graphique de f dans un repere orthogonal
1) Montrer que pour tout reell, x, -e^x<=f(x)<=e^x
En deduire que Cf admet une asymptote au voisiange de - infini . Quelle est cette asymptote?
ma reponse:
On sait que -1< cos(x) <1
donc par produit:
-e^x<=f(x)<=e^x

lim (-e^x) en - infini = lim (e^x) en -infini =0
donc Cf admet une asymptote horizontale, d' equation y=0

2) Determiner les abscisses des points d' intersection de Cf avec l' axe des abscisses
ma reponse:
Pour ce faire , on resout l'equation :
e^x * cos(x) =0
donc
e^x=0 et cos(x) =0
pas de solution x1= pi/2 + 2kpi
x2=-pi/2+ 2kpi

donc ces solutions sont les abcsisses

3) On etudie f sur l' intervalle [-pi/2; pi/2]
Demontrer que pour tout reel x appartenant a cette intervalle, on a: cos(x)-sin(x)= racine de 2*cos(x+pi/4)
C' est cette question qui me pose probleme
Veuillez m' aider svp
merci beaucoup

[becirj]

Bonjour

Il suffit d'utiliser la formule d'addition pour calculer puis multiplier par et tu arriveras au premier membre de l'égalité à démontrer.

[Anonyme]

re, merci pour ton aide.
je trouve bien l' egalite, par contre j' ai des difficultes dans la suite de l' exercice
4) Calculer f'(x), ou f' designe la derivee de f
donc je trouve f'(x)= e^x(co(x)-sin(x))
Montrer que f est croissante sur [-pi/2;pi/4] et decroissante sur [pi/4;pi/2].
Dresser le tableau de variation de f sur [-pi/2;pi/2]
Indiquer les valeurs prises par f en -pi/2,pi/4 et pi/2
Je ne sais pas comment etudier le sens de variation de cette fonction car en cours on a pas vraiment etudier les fonction trigo et je vois pas non plus ou est ce que la fonction s' annule.
veuillez m' aider svp
merci beaucoup

[becirj]

Il faut te servir du résultat précédent.

Le signe de f'(x) est celui de
En posant , quand et en t'aidant du cercle trigonométrique, tu peux voir le signe de cosinus. Même travail pour l'autre intervalle.
Tu peux voir aussi pour quelles valeurs de X cos(X) s'annule et en déduire les valeurs correspondantes de x.