Fonction (x,y)

[farator]

Salut !
J'ai du mal à comprendre plusieurs petites choses qui semblent pourtant assez simples

Dans une fonction f(x,y) = ax + by par exemple, on peut faire varier comme on veut x et y. Mais alors cela ne représente pas une courbe, mais une quantité énorme de courbes possibles ?

Que veut dire passer de R'' dans R ?

Quelle est la différence finallement entre une fonction f(x) et f(x,y) ? On est toujours dans un plan de coordonnées (x,y) ?

[L.A.]

Salut c'est encore moi...

f(x,y) représente donc une fonction de R² dans R.

si on fixe par exemple y = y0, on obtient une fonction de R dans R ; c'est

x |-> f(x,y0)

dans ton exemple f(x,y) = ax + by (équation d'un plan non parallèle à Oz)
ça donne :

x |-> ax + by0 = ax+cste est une fonction affine.

Bref si on coupe la surface par le plan y = y0, on retrouve le graphe de la fonction : x |-> f(x,y0) ; ici (plan inter plan) = droite

[L.A.]

A ce propos j'ai une petite idée d'exo :

on considère la surface f(x,y) = x*y (paraboloïde hyperbolique, plus communément appelée "selle de cheval")

montrer que cette surface est réglée, c'est à dire qu'elle est constituée d'une réunion de droites.

(pourtant c'est loin d'être un plan...)

[farator]

Salut c'est encore moi...

Avec plaisir


En fait le problème ... c'est que je n'avais jamais compris que f(x,y) est une surface ...
Cela dit cela ne définit pas toujours un plan ?

C'est les termes de "R² dans R" et "R dans R" qui me posent problème.

[L.A.]

Ah humhum OK.

R² représente l'ensemble des couples de réels, c'est à dire {(x,y) / x dans R, y dans R}

-> si on considère un plan muni d'un repère orthonormé (R.O.N.) (O,i,j), se donner un point M de coordonnées (x,y) revient à se donner un couple de réels (x,y), cad un élément de R².

donc (le plan géométrique + repère) et R², c'est la même chose. OK ?

-> Maintenant on choisit de définir une fonction f : R² -> R, cad qui à tout couple de réels associe un réel. par exemple : f(x,y) = 2x + 3y.

l'image du couple (1,2) est alors f(1,2) = 2*1 + 3*2 = 8, etc...

-> Plaçons nous maintenant dans l'espace muni d'un R.O.N. (O,i,j,k)
pour tout point M(x,y) du plan (O,i,j), on peut considérer le réel z = f(x,y).
on pose alors le point M' de coordonnées(x,y,z = f(x,y)) : c'est le point M, mais translaté selon l'axe Oz jusqu'à la hauteur correpondante à z = f(x,y).
Si je fais varier M sur le plan (O,i,j), M' reste au dessus de M mais décrit une surface : c'est la surface en question.

-> cette surface correspond dans l'espace à la courbe représentative d'une fonction classique dans le plan.

[farator]

Pfiou c'est bon je crois que j'ai compris tout ce qui est fonctions à plusieurs variables, gradient, courbes de niveau!

Par contre j'ai pas réussi ton exo de la paraboloïde hyperbolique ...
Je veux bien une indication ou la réponse ^^

[L.A.]

Rebonjour.

Pour l'exo f(x,y) = x*y, il suffit de constater que si on fixe par exemple y=y0, on obtient une fonction :

R -> R
x |-> f(x,y0) = x*y0

le graphe de cette fonction R -> R est une droite (fonction linéaire).
Ainsi pour tout y0, l'intersection de la "selle de cheval" avec le plan y=y0 est une droite.
Comme la surface est la réunion de ses intersections avec les plans du type y=y0, :zen: c'est une réunion de droites...

(Et pourtant, ça n'a rien d'un plan, comme on peut le voir sur wikipédia, article "paraboloide", deuxième schéma.)