[TS] Fonction ln

[Majaspique]

Bonjour,
voici l'énoncé :
PARTIE A : fonction auxiliaire

On considère la fonction définie sur l'intervalle par :

1. Calculer la limite de en et en et étudier les variations de sur l'intervalle
2. Justifier qu'il existe un unique réel tel que . Donner un encadrement de au centième.
3. En déduire le signe de la fonction sur l'intervalle

voici ce que j'ai fais :
1. car :


donc

car :


donc

Est-ce correct?

On détermine la dérivée de :



Je bloque un peu pour déterminer le signe

2. Là je bloque, je vois pas trop comment faire car même avec le théorème des valeurs appliquées on a pas la valeur de ...

Merci d'avance pour votre aide.

[Lostounet]

Bonjour,
voici l'énoncé :
PARTIE A : fonction auxiliaire

On considère la fonction définie sur l'intervalle par :

1. Calculer la limite de en et en et étudier les variations de sur l'intervalle
2. Justifier qu'il existe un unique réel tel que . Donner un encadrement de au centième.
3. En déduire le signe de la fonction sur l'intervalle

voici ce que j'ai fais :
1. car :


donc

car :


donc

Est-ce correct?

2. Là je bloque, je vois pas trop comment faire car même avec le théorème des valeurs appliquées on a pas la valeur de ...

Merci d'avance pour votre aide.

Salut,
Pour la question 2, l'astuce est de considérer la fonction f(x) = g(x) - x et montrer que f(x) = 0 possède une unique solution, notée. Dans ce cas on aurait , donc en fait soit .

Pour montrer que f(x) = 0 possède une unique solution, on peut montrer que f est croissante ou bien décroissante sur son domaine. Ensuite, tu peux regarder les limites de f en 0 et en + l'infini (en utilisant une partie de la première question). Il suffit ensuite d'utiliser le TVI qui te donne la conclusion car f est continue sur son domaine (car somme des deux fonctions continues g et h(x)=-x).

[Majaspique]

C'était une erreur d'énoncé, on demandais en fait de déterminer à la question 2.

Du coup j'ai refais mes calculs :
1. Il me manquais la deuxième partie de la question donc :
On détermine la dérivée de :



On résoud :


et là je bloque un peu...

2. est une fonction définie, continue et strictement croissante sur à valeur dans
Or donc l'équation admet une solution unique d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones.

Déterminons à près :
car et
car et

Donc à près par défaut.

3. On en déduit que :
pour tout ;
pour tout ;

[infernaleur]

Salut,
tu peux mettre au même dénominateur : , maintenant il ne te reste plus qu'a étudier le signe du numérateur et du dénominateur et tout regrouper dans un tableau de signe.

[Majaspique]

Pour le dénominateur c'est évident, pour le numérateur :



Là je bloque un peu, je ne vois pas trop comment passer de l'autre côté...

Et voici la partie B :
PARTIE B : On considère la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal ()
1. Déterminer les limites de la fonction en et .
2. Montrer que la distance de la courbe et de la droite d'équation tend vers en . Étudier la position relative de la courbe et de la droite .
3. Écrire un algorithme permettant de déterminer l'entier tel que , étant un entier naturel. Déterminer alors la valeur de pour
4. Justifier que a le même signe que .
5. En déduire le tableau de variation de la fonction .
6. Tracer la droite et la courbe dans le repère (). On placera la tangente horizontale.

puis ce que j'ai répondu :
1. car :






car :






2.


car :




Donc la distance de la courbe et de la droite d'équation tend vers en

Pour étudier la position relative de la courbe et de la droite , on étudie le signe de :
On résout :





Puis on en déduit le tableau de signe de :


Donc pour tout ; donc est au-dessus de sur cet intervalle.
Et pour tout ; donc est en-dessous de sur cet intervalle.

3. Je n'ai pas encore traité la question...

4.











Or f' est définie sur donc, pour tout :
et
Donc, comme le signe de dépend du facteur alors a le même signe que .

5. On en déduit le tableau de variations de :


6. Je n'ai pas encore traité la question.

Veuillez vérifier si toutes les questions sont justifiées s'il vous plaît.
Merci pour votre aide.

[infernaleur]

Avec ta calculatrice tu peux vérifier que la fonction t--->t^(1/3) est croissante (puis le démontrer si tu le souhaite en calculant la dérivée).
Ainsi x^3 >=a <=> x>=a^(1/3)

[infernaleur]

Attention pour la partie B pour tes calculs de limite il y a des erreurs :

****** Pour la limite en 0 :
(ln(x)/x) * (1/x) n'est pas égal à (1/x)* (ln(x)+1) : pour la limite en 0 tu as juste à dire que ln(x)/x² = ln(x) * (1/x²).
Puis comme ln(x) tend vers (-l'infini) en 0 et (1/x²) tend vers (+l'infini) en 0 on a du : (-l'infini )* (+l'infini)=-l'infini

***** Pour la limite en +l'infini :
0*0 --> forme indéterminée
Le mieux c'est d'utiliser directement la croissance comparée, donc tu as directement que la limite en +l'inifini de ln(x)/x² est 0.
Ou sinon tu dit que et donc comme tu l'as dit ln(x)/x tend vers 0 en +l'infini et comme x tend évidemment vers +l'infini en +l'infini alors la limite de est 0/infini = 0.

[infernaleur]

Pour le reste tout me semble juste, et juste pour f' tu peux simplifier un x en haut et en bas pour avoir f'(x)=g(x)/x^3 c'est plus élégant ^^

[désolé de ne pas avoir écrit en Latex alors que toi tu as pris le temps de le faire mais j'ai pas eue trop le temps]

[Majaspique]

Pour la question A.1 j'ai finalement fait :
On sait que, comme g' est définie sur alors pour tout réel donc .
On en déduit le tableau de variation de :

(Il manque le en haut à gauche)

Pour la question B.3. (algorithme), voilà comment j'ai procédé :
L'algorithme :






Donc pour ,

[Majaspique]

Pour la question 6, on nous demande une tangente horizontale mais on ne nous a pas fait calculer de tangente avant, donc je ne comprends pas vraiment comment réaliser correctement la question...

[infernaleur]

Partie A :
Attention c'était g'(x)=6x²+2/x (et pas 6x^3-2/x), et oui effectivement j'avais pas fait gaffe mais sur ]0,+l'infini[ 6x²+2/x est toujours strictement positif donc c'est évident.


Partie B
Attention dans ton algo c'est :

while -ln(N)/N² <-10^(-P) et pas l'inverse.

En gros tu cherche un rang "q" pour lequel -ln(q)/q² va dépasser -10^(-P).
Donc tu va demander a ta calculatrice de calculer tout d'abord -ln(2)/2² (on commence par 2 car dans ton énoncé on te dit n>=2), si c'est plus petit que -10^(-P) bha elle continue, elle calcule -ln(3)/3² si c'est plus petit que -10^(-P) bha elle continue etc etc ... Mais a un moment elle va trouver un rang "q" pour lequel -ln(q)/q² sera plus grand que -10 ^(-P) et elle va t'afficher ce "q"

[PS: D'ailleurs tu peux te poser la question suivante, pourquoi pour des P pas trop grand (sinon ça prendrais trop de temps pour une pauvre calculatrice du lycée), ta calculatrice trouveras toujours un rang pour lequel -ln(N)/N² sera plus grand que -10^(-P)]

[infernaleur]

Écris c'est quoi la question 6.

[Majaspique]

6. Tracer la courbe (C) et la droite dans le repère . On placera la tangente horizontale.

Pour l'algo, c'était une erreur de recopiage, j'avais mis :
D'ailleurs es-tu sûr que ce n'est pas au lieu de ?

[Majaspique]

Est-ce que l'algo en langage naturel donne ça ?
Entrée :
Saisir P
Initialisation :
Affecter à N la valeur 2
Traitement :
Tant que
Faire
Affecter à N la valeur de N + 1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher N

[infernaleur]

Oui tu as raison il faut mettre inférieur ou égale et pas un inférieur stricte.
Oui ton algo est correct pour moi.

[Majaspique]

Voilà ce que j'ai fais pour la 6. Tracer la droite et la courbe dans le repère (). On placera la tangente horizontale :

Si l'image est verticale, voir https://www.noelshack.com/2018-08-3-1519187408-img-0783.jpg
+ j'ai rajouté O, i, j