Factorisation

[JérémyDubois]

Bonjour, Comment factorise-t-on
9(2u^(3) +v^(3)) - (2u+v)^3

[Viko]

commence par développer et utilise les formules de factorisation, je te donne un petit indice le résultat à obtenir contient un terme au carré et un terme de degrés 1

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Soit la fonction f définie sur par :

Tout d'abord , tu peux développer et réduire , puis calculer f(u;u) : qu'est-ce que tu remarques ?

[Lostounet]

Si u = v, on trouve en exprimant tout en fonction de u que ton expression vaut 9(2u^3 + u^3) - (3u)^3 = 27u^3 - 27u^3 = 0. .

Et si on connait l'astuce: (u - v) est racine. En dérivant l'expression 9(2u^(3) +v^(3)) - (2u+v)^3
en fonction de u, on trouve et on constate que si u = v encore une fois,

54u^2 - 6*9u^2 = 0, ce qui signifie que la factorisation est en fait de la forme

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Pour ma part j'ai opéré comme suit :



On a donc est un diviseur de ,

donc en divisant par on a :

.

Soit g une fonction définie sur par :

on remarque aussi que , et donc est aussi un diviseur de

Remarque : je trouve que la méthode de Lostounet très élégante , et conseille à JérémyDubois de l'adopter.

[zygomatique]

salut

pas de facteur commun ...
pas d'identité remarquable ...

vu que f(u, u) = 0 on développe et on factorise par u - v

[JérémyDubois]

Bonjour, vu que je suis encore en 2nde je ne connais pas ce type de factorisation. Pouvez-vous me dire si il y a un cours spécifique pour celui-ci. Je connais aussi les maths de 1ere s alors la dérivation et otut le reste ne me pose pas problme

[zygomatique]

je l'ai fait comme en troisième ...

[Pseuda]

Bonsoir,

Une autre technique en partant de : , on met en facteur de toute l'expression et on obtient un polynôme en .

On pose . Quel polynôme en obtiens-tu ? Il y a une racine évidente , on factorise le polynôme par , etc ... .

[aviateur]

bonjour
La méthode simple pour un élève de 2nde c'est de faire comme ceci.
étape 1
Je fais l'exercice dans le cas particulier v=1 pour trouver facilement (développer puis factoriser)
(1)

étape 2. La formule est vraie (1) pour tout donc je remplace u par u/v et je multiplie chaque membre v^3
et c'est fini.

[aviateur]

En fait voir le post simultané de @pseuda où on dit presque la même chose

[JérémyDubois]

merci j'ai trouvé

[Lostounet]

merci j'ai trouvé

Et que trouves-tu au bout du compte?

[JérémyDubois]

Salut pour la méthode des polynômes j'obtiens ;


Mais par contre lostounet je n'ai pas saisi votre méthode avec la dérivation est-ce que vous pourrez la détailler un peu plus.

[Black Jack]

Salut pour la méthode des polynômes j'obtiens ;

C'est au minimum pas terminé.
Quid si v = 0 ?

Si on passe par une résolution utilisant u/v, il faut alors prendre les précautions adéquates pour tenir compte du cas v = 0 ...

[JérémyDubois]

ensemble vide
Mais Lostounet est ce que vous pouvez détailler votre dérivation pour passer de : 9(2u^(3) +v^(3)) - (2u+v)^3 à
sans développer.

[JérémyDubois]

de plus pour le cas v=0 c'esst ensemble vide mais alors comment procède-t-on ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Ensemble vide ? Pour le cas v=0, tu obtiens un résultat en u. Pour v<>0, il faut redistribuer v^3 sur l'expression factorisée trouvée en u/v. Normalement cette dernière expression trouvée doit convenir aussi pour v=0.

La solution de Lostounet provient de ce que, un polynôme P(X) est factorisable par (X-a)^2 ssi P(a)=0 et P'(a)=0.

[JérémyDubois]

j'ai compris la soluyion de Lostounet mais comment peut-on dériver avec deux variables ?
De plus vous parlez de redistribution, je ne saisi pas ?

[Viko]

pour la dérivation (partielle) avec les deux variables rien de bien compliqué tu considères simplement la (ou les) variables comme des constantes et dérives classiquement ^^