Factorisation de A^n - B^n (et oui, encore un problème)

[Anonyme]

Y-a-t-il un Superman sur ce forum ?

Toujours dans ce charmant magazine "l'Officiel de la Taupe", figure l'énoncé suivant :

"Développer et apprendre par coeur (a+b)², (a-b)², (a+b)^3 et (a-b)^3. En profiter pour retrouver la factorisation de a²-b² , a^3 + b^3 et a^3-b^3, et plus généralement de a^n - b^n"

Jusqu'à a²-b², niveau troisième, ça va je gère.
Mais ensuite, je ne sais pas ce qu'ils entendent par "retrouver", (ce qui semble supposer que l'on doit connaitre ces factorisations,ou au moins les avoir déjà vues) mais en tou cas c'est la première fois qu'on me fait le coup à moi.
Et franchement, là, je bloque oune poquito.

Est-ce qu'un superhéros en goguette pourrait m'indiquer la démarche à suivre par exemple pour a^3-b^3, ce qui déjà me donnera une piste pour tenter de trouver le reste ?

Merci d'avance, oh valeureux forumeurs !

[celge]

salut,
alors, comme ca on séche sur un problème comme ça ?!
Non, plus sérieusement, c'est vrai que ce problème n'est pas très évident, lorsque c'est la première fois qu'on le rencontre.
Bon, tu demande de te donner la méthode pour a^3-b^3 ?, alors je vais la donner...

donc, moi, je pars de a^2-b^2, en disant que a^3 - b^3 = (a^2 - b^2) *(a+b) + ab^2 - ba^2
là, tu remarque que a^2 - b^2 =(a-b) * (a+b), d'où
a^3 - b^3 = (a-b) (a+b) (a+b) +ab^2 - ba^2
tu me suis toujours ?
bon, alors là, ca fait donc a^3 - b^3 = (a-b) (a+b)^2 +ab^2 -ba^2
bloqué ?.... NON !!
on remarque en effet que ab^2 - ba^2 = (b-a) * ab, soit - (a-b) *ab

donc on a desormais a^3 - b^3 = (a-b) (a+b)^2 - (a-b)*ab

donc après un calcul assez simple désormais, tu trouveras
a^3 - b^3 = (a-b) (a^2 + ab + b^2)

donc je sais pas si c'est la méthode la plus simple et qui t'aidera le plus pour la suite, mais ca marche bien...une fois qu'on l'a comprise !

[celge]

on peut aussi partir de (a-b)^3, ce qui t'aidera plus pour la suite il me semble (ca prouve bien qu'il y'a plusieurs methodes)
Regarde: (a-b)^3 = a^3 - 3 a^2b + 3ab^2 - b^3
d'où a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3a^2b - 3 ab^2

ca qui est egal à
(a-b) ((a-b)^2 + 3ab)
(parce que 3 a^2b - 3 ab^2 = (a-b) * 3ab )

ce qui nous fait encore une fois
(a-b) (a^2 + ab + b^2)

et c'est plus court, et ca permet de trouver plus facilement une regle pour a^n - b^n

[Anonyme]

et woila

formule qui normalement se voit en 1S dans la catégorie polynômes.

ps: n'applaudissez pas parce que j'ai utilisé TeX! non non pas utile!

[mathador]

J'applaudis 12h33 !!!!!!!
Et je vais plus loin dans l'utilisation de LaTeX :

Plus sérieusement, je n'ai jamais fait ça en 1èreS (ou alors j'ai la mémoire sélective et cette formule n'en a pas eu les faveurs!)... mais bon, ça se retrouve assez facilement, comme l'a bien montré Celge.

[Anonyme]

Et bien ça sert entre autre à démontrer que
P(a)=0 ssi P(x) est divisible par (x-a)

[Nightmare]

Bonjour à tous

12h33 (charmant pseudonyme ) comment fais-tu pour démontrer cette équivalence avec la factorisation de ? personnelement moi j'utilise plus le binôme de Newton qu'autre chose. :confused:


Jord

[Anonyme]

et bien et bien !
preux forumeurs, merci à vous !
jen'ai plus qu'à plancher sur ces réponses !
( en 1ere S ??? Le cours sur les polynomes ??? Alors là je t'arrête tout de suite : en 1 ere S personnelement j'ai vu un cours sur les polynomes du second degré, point barre....)

Merci beaucoup !

[Anonyme]

Bon après moultes efforts , je suis parvenue à mes fins, mais en utilisant un raisonnement par récurrence (et donc en utilisant la première méthode de celge :D ) ... Je sais pas si c'est vraiment valable, et surtout c'est relativement long (6 lignes plus exactement) par rapport à vos démonstrations ... Si vous en avez le temps et le courage, pourriez vous me montrer une démonstration plus courte, ou qui n'utilise pas le raisonnement par récurrence (ça me changera ... dès qu'il y a des n dans l'affaire, je balance la récurrence, ça devient lassant)
Merci en tout cas !

(juste une question comme ça : que signifie la notation "P(a)" ou "P(x)" ??)

autre question : comment utilise-ton Latex ? Si j'ai bien compris, seuls les inscrits peuvent l'utiliser non ?

[reav]

salu!

Ben la récurrence c'est bien mais encore faut-il connaître la 'réponse', j'veux dire par là démontrer que l'expression Y est bien égale à l'expression Z, parce que si t'as que Y tout court... et c'est pas censé être le cas dans l'énoncé ?
Sinon désolé je sais pas trop comment démontrer ça en partant de 'rien'.

Mais pour répondre à tes autres questions :
P(x) signifie polynôme P de variable x, et P(a) a "a" en argument, c'est une constante, et ici "a" est la racine du polynôme P, P(a)=0 donc.
Pour latex ben je pense pas qu'il faille être inscrit pour pouvoir l'utiliser, il fait juste télécharger Tex (si mes souvenirs sont bons) puis ensuite télécharger un éditeur permettant d'utiliser les fonctions Tex (désolé si je me trompe), en tout cas moi j'ai télécharger 2 choses indépendantes..
J'ai suivi la démarche sur ce site : http://213.246.59.83/phpBB2/ftopic-8-installer-latex-windows.html

[Anonyme]

(idée de la démo pour nightmare.)

si a est racine de P alors P(x) est divisible par (x-a).

on a donc




et en utilisant la factorisation de , on peut ainsi écrire que:
où Q est de degré n-1.

l'autre implication est triviale.

ps: le pb avec le binôme de newton c'est qu'il se voit en term.
@+

[Anonyme]

Ben la récurrence c'est bien mais encore faut-il connaître la 'réponse', j'veux dire par là démontrer que l'expression Y est bien égale à l'expression Z, parce que si t'as que Y tout court... et c'est pas censé être le cas dans l'énoncé ?

Ben dans mon cas non mais apparement ils supposaient la "réponse" déjà connue puisqu'ils employaient le terme "retrouver", donc ...
Mais c'est vrai que dans un cas plus général, c'est embêtant ... à moins d'avoir une très bonne intuition (ce qui n'est pas mon cas ...)

Merci pour l'adresse !

[Nightmare]

Daccord merci 12h33

En effet , c'est plus simple que ma démonstration qui n'est pas au programme de lycée de toute façon


Jord