Factorisation sans facteurs communs

[JuEtLesMaths]

Bonjour, voici l'énoncé de mon exercice :

" Montrer en factorisant l'expression

f(x) = (x-1)(x-2) - 2 (x+1)(2x-4)

que pour tout x réel on a : f(x) = (2-x) (3x+5) "

Je ne trouve pas de facteurs communs dans la première expression et je ne vois pas comment trouver un facteur commun à l'aide des identités remarquables non plus.

Bien évidemment, j'ai déjà effectué plusieurs essais de calculs, en vain. Je vous les partage quand même afin que vous puissiez m'éclairer :

(x-1)(x-2) - 2 (x+1) (2x - 4)
= (x-1)(x-2) - (4x-8) (2x-2)
= (x-1)(x-2) - (4x-8) 2(x-1)
= (x-1) (x-2-2*4x - 16)
= (x-1) (-7x - 18)


OU ENCORE

(x-1)(x-2) - 2 (x+1) (2x - 4)
= (x-2)(x-1) - 2 (x+1)(2x-4)
= (x-2)(x-1) - (2x+2) (4x-8)
= [(x-2)(x-1)] - [4 (x-2)(x-1)]
= (x-2) [ (x-1) - 4 (x-1)
= (x-2) (x-1-4x+4)
= (x-2) (-3x+3)

Malgré mes calculs et des heures à être penchée sur cet exercice, je ne trouve pas le résultat attendu dans l'énoncé. Merci d'avance à toutes les personnes qui prendront le temps de lire mon message et de m'aider.

Je vous souhaite une bonne journée !

[Pisigma]

Bonjour,
peut-être voir ici https://www.ilemaths.net/sujet-factorisation-sans-facteur-commun-790901.html

[Lostounet]

Bonjour,

Tout d'abord je voudrais t'expliquer une erreur que tu fais plusieurs fois.
Si tu as l'expression: 2 (x+1)(2x-4)
Cela veut dire qu'elle est égale soit à [2(x+1)](2x-4)=(2x+2)(2x-4)

Soit à (x+1)*[2(2x-4)]=(x+1)(4x-8)

Donc pas à (2x+2)*(4x-8). Le 2 se distribue uniquement dans une des parenthèses car c'est un produit.


Concernant ton expression, l'astuce va consister à observer que 2x-4=2(x-2)

Donc:

f(x) = (x-1)(x-2) - 2 (x+1)(2x-4)
=(x-1)(x-2) -2*(x+1)*2(x-2)
=(x-1)(x-2)-2*2(x+1)(x-2)
=(x-1)(x-2) -4(x+1)(x-2)

Tu as donc x-2 le facteur commun.

[JuEtLesMaths]

[quote="Lostounet"]

Merci pour votre réponse.

Une fois que j'ai mis (x-2) en facteur, cela me donne :

(x-2)[(x-1)-4(x+1)]
= (x-2) [x-1-4x-4]
= (x-2) [-3x-5]

Or, je dois trouver (2-x)(3x+5)
Certes, le résultat trouvé précédemment est égale à (2-x)(3x+5) multiplié par (-1) mais je ne sais pas quoi faire de cette information, ni comment faire pour passer du résultat que j'ai trouvé à celui attendu.

[Lostounet]

En fait, n'oublie pas que:


Utilise ce que je t'ai corrigé au poste précédent pour voir si tu sais effectivement multiplier seulement la première parenthèse par le (-1).

On tombe sur le résultat demandé.

[JuEtLesMaths]

Est-ce correct si j'écris cela :

(x-1)(x-2) - 2 (x+1)(2x-4)
= (x-1)(x-2)-2*(x+1)*2(x-2)
= (x-1)(x-2)-2*2(x+1)(x-2)
= (x-1) (x-2)-4(x+1)(x-2)
= (x-2)[(x-1)-4(x+1)]
= (x-2) (x-1-4x-4)
= (x-2) (-3x-5)
= (x-2) [-1(3x+5)]
= -1*(x-2)*(3x+5)
= (-x+2)(3x+5)
= (2-x)(3x+5)

[Lostounet]

Parfait

[JuEtLesMaths]

Parfait

Merci pour votre aide précieuse ! Je ne suis pas très douée en mathématiques, alors merci d'avoir pris le temps de m'éclairer !