Exponentielle dérivée et spot publicitaire

[amelimelo]

Bonjour à tous,

Cela fait plusieurs jours que je bloque sur ce problème je ne sais pas si mes calculs sont bons, de plus j'ai du mal avec l'écriture et je ne comprends pas quelle démarche il faut faire, pourriez vous m'éclairer?

Un distributeur étudie l'influence du nombre de diffusions journalière d'un spot publicitaire sur la vente d'un de ses produits. Une étude de marché a montré que, pour n diffusions journalières du spot, l'efficacité correspondante peut s'évaluer par le nombre 6/1+5e^(-n/3 )

On considère donc la fonction qui exprime l'efficacité définie sur I=[0;20] par f(x)= 6/1+5e^(-x/3 )

Le but de ce problème est de déterminer le nombre de diffusions journalières du spot pour lequel le rendement est maximal.

1.a)Calculez f(0) puis f'(x) pour x élément de I.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2.Vérifier que pour tout x de I, f'(x)=1/18 * f(x) [6-f(x)], puis que f''(x)=1/9 * f'(x) [3-f(x)]

3.Résoudre dans I l'inéquation f(x)3
En déduire le signe de f''(x) sur I

4.Dresser le tableau de variations de la fonction dérivée f'. On y fera figurer la valeur exacte x(0) en laquelle f' atteint son maximum

5. Il est décidée de choisir pour nombre de diffusions journalière du spot le nombre entier n(0) le plus proche de x(0) déterminée à la question 4. Donner n(0)


Donc j'ai trouvé f(0)=1 et
f'(x)=((1/(5e^(-x/3))*6)'
=-(-1/3*5e^(-x/3))*6)/(1+5e^(-x/3))^2
=((1/3*5e^(-x/3))*6)/(1+5e^(-x/3))^2
=(10e^(-x/3))/(1+5e^(-x/3))^2

Je ne sais pas si cette dérivée est juste de plus je ne comprends pas l'écriture f'(x)=1/18 * f(x) [6-f(x)], et je comprends encore moins comment arriver au bon résultats

Quelqu'un pourrait-il m'aider?

Merci beaucoup,

Amelimelo

[hdci]

Bonjour,

On considère donc la fonction qui exprime l'efficacité définie sur I=[0;20] par f(x)= 6/1+5e^(-x/3 )

Donc j'ai trouvé f(0)=1

Comment est-ce possible ? Avec ce qui est écrit, je trouve que f(0)=11.

Ah, mais peut-être manque-t-il des parenthèses ? Admettons que f(x)=6/(1+5e^(-x/3)), c'est-à-dire



Là OK, f(0)=1.

Pour la dérivée, on doit alors trouver



Pour la question 2

2.Vérifier que pour tout x de I, f'(x)=1/18 * f(x) [6-f(x)], puis que f''(x)=1/9 * f'(x) [3-f(x)]

Là il n'y a pas de parenthèses, on lit donc : 1 divisé par 18, le tout multiplié par f(x), le tout multiplié par 6-f(x).

Comment peut-on montrer que f'(x) est égal à cette égalité ? Plusieurs façons de faire :
On peut par exemple remarquer que le dénominateur est au carré, donc dire que c'est une multiplication :

• Oh, mais le facteur de droite ressemble beaucoup à f(x) : en fait c'est égal à quoi, en fonction de f(x) ?
• Mais alors le facteur de gauche ne serait-il pas ressemblant à 6-f(x) ?
• Ca serait alors bien de calculer 6-f(x) en mettant tout au même dénominateur, pour voir.

Une autre façon de faire est de partir de [f(x)(6-f(x))]/18 et de faire le produit "pour voir ce que cela donne" en simplifiant le plus possible.

C'est un réflexe que tu dois toujours avoir : si on te demande de démontrer que A=B, avec B une "grosse formule", et bien commence par calculer B en appliquant le règles usuelles (fractions, développement, factorisation, etc.) en espérant trouver A. Et si ça ne marche pas, tu essayes avec A en espérant trouver B.