Dérivée d'une fonction exponentielle

[Askay]

Bonjour je voudrais savoir si la dérivée de f(x) = (e^x+e^-x)/2
était bien égale à (e^2x-1)/2e^x si oui quelqu'un aurait l’amabilité de me faire un rappel de la méthode pour arriver à ce résultat car je ne suis pas sur de la mienne

[Pisigma]

Bonjour,

d'où une nouvelle écriture de

ou alors tu dérives l'expression initiale et ensuite tu tiens compte de

[Black Jack]

f(x) = (e^x+e^-x)/2

f'(x) = (e^x - e^-x)/2

Et si on veut : f'(x) = (e^x - 1/e^x)/2 = [(e^x).(e^x) - 1)/e^x]/2 = (e^(2x) - 1)/(2.e^x)

Et si tu négliges de mettre les parenthèses, en écrivant : (e^(2x) - 1)/2.e^x ... alors c'est faux.

[Pisigma]

salut Black Jack : il fallait lui donner la réponse sans le laisser chercher?

[Askay]

merci de vos réponses mais je ne comprends pas pourquoi on ne calcule pas cette dérivée sous forme de quotient une fois l'expression f(x) simplifiée

[Sa Majesté]

C'est-à-dire ?
Comment aurais-tu fait ?

[Askay]

une fois l'expression simplifiée de f(x) je pensais qu'il fallait faire (u'v-uv')/v² pour obtenir (e^(3x)-1)/(2e^x)²

[Sa Majesté]

Qu'appelles-tu "expression simplifiée de f(x)" ?
f(x) = (e^x+e^-x)/2 = e^x/2+e^-x/2
On peut difficilement simplifier plus

[Askay]

J'ai fait erreur je pensais que f(x)=(e^x+e^-x)/2 simplifiée correspondait à (e^(2x)-1)/2e^x )mais du coup je ne comprends pas la méthode utlisée précedemment afin de parvenir à la dérivée de cette fonction pourriez vous expliquez de manière détaillée les étapes ?

[Sa Majesté]

Tu as plusieurs possibilités pour calculer la dérivée de f, des simples et des moins simples.

La plus simple, c'est celle de Black Jack




car la dérivée de k.u, avec k constante et u fonction, est k.u'

Tu peux aussi distribuer le 2 mais ça ne sert à rien









Plus compliqué, tu multiplies numérateur et dénominateur par et tu dérives après





et là il faut utiliser

Je te laisse faire, c'est un bon exercice.

[Askay]

on obtient donc f'(x)((2e^2x)(2e^x)-(e^(2x)+1)(2e^x))/(2e^x)²
f'(x)= (4e^3x)-(3e^(3x)+1)/(2e^x)²
f'(x) = (e^(3x)-1)/(2e^x)²

[Sa Majesté]

Ta 1ère ligne est OK
Ta 2ème ligne n'est pas bonne

[Askay]

je bloque à (4e^3x)-2e^(-x)-2e^(-x) et encore pas sur que cela soit bon

[Pisigma]

c'est toujours faux.

Comme tu as du mal, scinde un peu ton calcul

écris u et calule u'

écris v et calcule v'

montre tes 2 calculs

[Askay]

u'= 2e^2x
v'= 2e^x
donc u'v = 4e^3x
uv'= 4e^3x+2e^x
est ce bon ?

[Pisigma]

tes dérivées sont justes u'v aussi mais uv' est faux

[Askay]

uv'= (2e^(2x)+1)(2e^x)
uv'= 4e^3x+2e^x je ne comprends pas mon erreur

[Pisigma]

et pas

[Askay]

ah merci bcp je m'étais completement trompé entre la u' et u merci

[Pisigma]

as-tu trouvé la bonne réponse?