Dérivée d'une fonction exponentielle

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Askay
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dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 10:38

Bonjour je voudrais savoir si la dérivée de f(x) = (e^x+e^-x)/2
était bien égale à (e^2x-1)/2e^x si oui quelqu'un aurait l’amabilité de me faire un rappel de la méthode pour arriver à ce résultat car je ne suis pas sur de la mienne



Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 10:45

Bonjour,

d'où une nouvelle écriture de

ou alors tu dérives l'expression initiale et ensuite tu tiens compte de

Black Jack

Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Black Jack » 10 Mai 2021, 10:54

f(x) = (e^x+e^-x)/2

f'(x) = (e^x - e^-x)/2

Et si on veut : f'(x) = (e^x - 1/e^x)/2 = [(e^x).(e^x) - 1)/e^x]/2 = (e^(2x) - 1)/(2.e^x)

Et si tu négliges de mettre les parenthèses, en écrivant : (e^(2x) - 1)/2.e^x ... alors c'est faux.

8-)

Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 10:56

salut Black Jack : il fallait lui donner la réponse sans le laisser chercher?

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 11:09

merci de vos réponses mais je ne comprends pas pourquoi on ne calcule pas cette dérivée sous forme de quotient une fois l'expression f(x) simplifiée

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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Sa Majesté » 10 Mai 2021, 11:18

C'est-à-dire ?
Comment aurais-tu fait ?

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 11:26

une fois l'expression simplifiée de f(x) je pensais qu'il fallait faire (u'v-uv')/v² pour obtenir (e^(3x)-1)/(2e^x)²

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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Sa Majesté » 10 Mai 2021, 11:36

Qu'appelles-tu "expression simplifiée de f(x)" ?
f(x) = (e^x+e^-x)/2 = e^x/2+e^-x/2
On peut difficilement simplifier plus

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 11:49

J'ai fait erreur je pensais que f(x)=(e^x+e^-x)/2 simplifiée correspondait à (e^(2x)-1)/2e^x )mais du coup je ne comprends pas la méthode utlisée précedemment afin de parvenir à la dérivée de cette fonction pourriez vous expliquez de manière détaillée les étapes ?

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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Sa Majesté » 10 Mai 2021, 12:35

Tu as plusieurs possibilités pour calculer la dérivée de f, des simples et des moins simples.

La plus simple, c'est celle de Black Jack




car la dérivée de k.u, avec k constante et u fonction, est k.u'

Tu peux aussi distribuer le 2 mais ça ne sert à rien









Plus compliqué, tu multiplies numérateur et dénominateur par et tu dérives après





et là il faut utiliser

Je te laisse faire, c'est un bon exercice.

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 12:52

on obtient donc f'(x)((2e^2x)(2e^x)-(e^(2x)+1)(2e^x))/(2e^x)²
f'(x)= (4e^3x)-(3e^(3x)+1)/(2e^x)²
f'(x) = (e^(3x)-1)/(2e^x)²

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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Sa Majesté » 10 Mai 2021, 13:35

Ta 1ère ligne est OK
Ta 2ème ligne n'est pas bonne

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 13:51

je bloque à (4e^3x)-2e^(-x)-2e^(-x) et encore pas sur que cela soit bon

Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 14:56

c'est toujours faux.

Comme tu as du mal, scinde un peu ton calcul

écris u et calule u'

écris v et calcule v'

montre tes 2 calculs

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 15:59

u'= 2e^2x
v'= 2e^x
donc u'v = 4e^3x
uv'= 4e^3x+2e^x
est ce bon ?

Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 16:35

tes dérivées sont justes u'v aussi mais uv' est faux

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 16:52

uv'= (2e^(2x)+1)(2e^x)
uv'= 4e^3x+2e^x je ne comprends pas mon erreur

Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 16:59

et pas

Askay
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Askay » 10 Mai 2021, 17:00

ah merci bcp je m'étais completement trompé entre la u' et u merci

Pisigma
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Re: dérivée d'une fonction exponentielle

par Pisigma » 10 Mai 2021, 17:06

as-tu trouvé la bonne réponse?

 

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