Un exo sypma

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 21:50

Salut tout le monde c'est mon premier message.
Aider moi a resoudre cet exerciceque je n'arrive pas le resoudre

Definir tout les nombres entiers naturels n tels que
(13*10^n) - 4 est un caré parfait

par **prody-G** » 11 Juil 2007, 22:23

salut

Je sais pas si c'est correct...

est un carré parfait ssi il existe x un entier naturel tel que

.
En trafiquant un peu l'équation on arrive à

Donc pour avoir les n il faudrait trouver les x tels que

soit un entier naturel. On a facilement n=0 pour x=3.
Mias ça me semble pas être la solution attendue...

par **Ledescat** » 11 Juil 2007, 22:24

Bonsoir.
J'essaye de trouver quelques pistes, même si l'arithmétique n'est pas mon fort!

Tu sais que les carrés parfaits sont congrus à 1,4,9,6 ou 5 [10].
Donc une condition nécéssaire est que 13*10^n-4 soit congru à l'un de ces nombres [10].
On remarque vite que seul 6 est cohérent, car par exemple:
Si (13*10^n-4)=1[10]
=> 13*10^n=5[10] ce qui est faux car c'est congru à 0.

Bref, c'est peut-être une mauvaise piste, mais si c'est un carré parfait, il se terminera nécéssairement par 6.

EDIT: Je viens de voir le cas n=0, où là forcément il ne congrue pas à 0[10], il faut donc en faire un cas particulier.

par **Ledescat** » 11 Juil 2007, 22:29

En fait mon post précédent n'a aucun intéret, puisque l'on remarque immédiatement que pour tout n différent de 0 ,10^n*13-4 se finit par 6.
Mais ça donne l'indication que le nombre dont il serait le carré se finit par 4.

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 22:30

prody-G a écrit:salut

Je sais pas si c'est correct...

est un carré parfait ssi il existe x un entier naturel tel que .
En trafiquant un peu l'équation on arrive à
Donc pour avoir les n il faudrait trouver les x tels que soit un entier naturel. On a facilement n=0 pour x=3.
Mias ça me semble pas être la solution attendue...

G pa encor etudie les fonctions logaritmiques
mai pren le ca ou n=2 et n=3 je pense que c'est correcte avec ces deux valeurs non??

par **Ledescat** » 11 Juil 2007, 22:34

On te demande tous les n.
Cependant, j'ai le sentiment que ce sont les seules solutions (0,2,3).Encore faut-il le montrer.

par **prody-G** » 11 Juil 2007, 22:37

lool désolé j'ai pas de calculatrice sous la main ^^ mais pour n=2 en effet 1296=36 x 36. Et je crois que ça complique l'exo le logarithme décimal...je vais essayer autre chose mais là dodo...demain dans le RER lol

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 22:42

essayez avec la demonsrtation par recurence je pense que ca va marcher

par **emdro** » 11 Juil 2007, 22:43

Ledescat a écrit: pour tout n différent de 0 ,10^n*13-4 se finit par 6.
Mais ça donne l'indication que le nombre dont il serait le carré se finit par 4.

Ou par 6...

par **Ledescat** » 11 Juil 2007, 22:43

dj-yassine a écrit:essayez avec la demonsrtation par recurence je pense que ca va marcher

Pour prouver qu'au delà de 3, il n'est plus un carré parfait ?

EDIT: exact emdro !

par **emdro** » 11 Juil 2007, 22:54

En utilisant la remarque de Ledescat, ce nombre doit être le carré de x où x est congru à 4 ou 6 modulo 10
Ecrivons x=10k+4 ou x=10k-4
Alors x²=100k²+80k+16 ou x²=100k²-80k+16

On cherche donc à résoudre
13.10^t-4=100k²+80k+16 ou 13.10^t-4=100k²-80k+16

Soit 13.10^t=100k²+80k+20 ou 13.10^t-4=100k²-80k+20

Si t est supérieur à 2 , on peut simplifier par 20:
65.10^(t-2)=5k²+4k+1 ou 65.10^(t-2)=5k²-4k+1

Modulo 4, cela implique
0=k²+1 [4] dès que t-2 est supérieur à 2

Mais un carré est congu à 0 ou 1 modulo 4.
C'est absurde.

Il n'y a donc pas de solution pour supérieur à 4. Il reste peu de cas à essayer!

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 22:55

Ledescat a ecrit
"
Pour prouver qu'au delà de 3, il n'est plus un carré parfait ?

EDIT: exact emdro ! "

oui
il s'agit de supposer que pout tout n>3 le nombre (13*10^n) - 4 n'est jamai un caré parfai et de demontrer que (13*10^n+1) - 4 n'est jamai un caré parfai
ce que je trouve deficile a faire
:cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 23:05

emdro a écrit:En utilisant la remarque de Ledescat, ce nombre doit être le carré de x où x est congru à 4 ou 6 modulo 10
Ecrivons x=10k+4 ou x=10k-4
Alors x²=100k²+80k+16 ou x²=100k²-80k+16

On cherche donc à résoudre
13.10^t-4=100k²+80k+16 ou 13.10^t-4=100k²-80k+16

Soit 13.10^t=100k²+80k+20 ou 13.10^t-4=100k²-80k+20

Si t est supérieur à 2 , on peut simplifier par 20:
13.10^(t-2)=5k²+4k+1 ou 13.10^(t-2)=5k²-4k+1

Modulo 4, cela implique
0=k²+1 [4] dès que t-2 est supérieur à 2

Mais un carré est congu à 0 ou 1 modulo 4.
C'est absurde.

Il n'y a donc pas de solution pour supérieur à 4. Il reste peu de cas à essayer!

25 est un caré parfait
25=5mod10
non??

par **Ledescat** » 11 Juil 2007, 23:07

Bien joué emdro.
J'ai vraiment beaucoup de mal avec l'arithmétique.
EDIT:

25 est un caré parfait
25=5mod10
non??

Oui mais on a montré que x était congru à 4 modulo 10, donc s'il est un carré, ce sera d'un nombre finissant par 6 ou 4.

par **emdro** » 11 Juil 2007, 23:10

dj-yassine a écrit:25 est un caré parfait
25=5mod10
non??

Oui mais ton 25 ne s'écrit pas sous la forme désirée: 13.10^t-4!

Modulo 10, 13.10^t-4=0-4=-4 [10].

Ce qui simplifie la démonstration d'ailleurs: tu peux enlever les 10k+4.

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 23:14

emdro a écrit:En utilisant la remarque de Ledescat, ce nombre doit être le carré de x où x est congru à 4 ou 6 modulo 10
Ecrivons x=10k+4 ou x=10k-4
Alors x²=100k²+80k+16 ou x²=100k²-80k+16

On cherche donc à résoudre
13.10^t-4=100k²+80k+16 ou 13.10^t-4=100k²-80k+16

Soit 13.10^t=100k²+80k+20 ou 13.10^t-4=100k²-80k+20

Si t est supérieur à 2 , on peut simplifier par 20:
13.10^(t-2)=5k²+4k+1 ou 13.10^(t-2)=5k²-4k+1

Modulo 4, cela implique
0=k²+1 [4] dès que t-2 est supérieur à 2

Mais un carré est congu à 0 ou 1 modulo 4.
C'est absurde.

Il n'y a donc pas de solution pour supérieur à 4. Il reste peu de cas à essayer!

ya une petite faute

vous avez ecri "Si t est supérieur à 2 , on peut simplifier par 20:
13.10^(t-2)=5k²+4k+1 ou 13.10^(t-2)=5k²-4k+1"

la faute c en rouge non??

10^2 n'est pa 20

par **emdro** » 11 Juil 2007, 23:17

Oui, j'ai mal recopié. Désolé.

C'est 65*10^(t-2), qui vient de 13*100*10^(t-2)/20=13*5*10^(t-2)=65*10^(t-2)

Merci! Je corrige dans la démonstration.

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 23:24

oui c juste
mai je ne compri pas pourquoi ce nombre doit être le carré de x où x est congru à 4 ou 6 modulo 10 :cry: :cry: :cry:
aider moi !!!!!!!

par **emdro** » 11 Juil 2007, 23:27

Tu es bien d'accord que 13.10^t-4 se finit par un 6?

Fais un petit tableau:
si un nombre se finit par un 0, son carré se finit par 0
si un nombre se finit par un 1, son carré se finit par 1
si un nombre se finit par un 2, son carré se finit par 4
...
si un nombre se finit par un 9, son carré se finit par 1

Tu verras que pour que le carré se finisse par 6, alors le nombre se finit nécéssairement par 4 ou 6. :happy2:

par **dj-yassine** » 11 Juil 2007, 23:31

emdro a écrit:Tu es bien d'accord que 13.10^t-4 se finit par un 6?

Fais un petit tableau:
si un nombre se finit par un 0, son carré se finit par 0
si un nombre se finit par un 1, son carré se finit par 1
si un nombre se finit par un 2, son carré se finit par 4
...
si un nombre se finit par un 9, son carré se finit par 1

Tu verras que pour que le carré se finisse par 6, alors le nombre se finit nécéssairement par 4 ou 6. :happy2:

chwi pa encor convaincu
est qu'il ya une demonstration de ce que vous avez ecrit sinon essayez de bien expliquer prcq je sai q chwi Bete hehehehehe lol

Un exo sypma

un exo sypma

Qui est en ligne