Exo suite Ts

[Ju64200]

Bonjour, je dois montrer par récurrence que 1/2<=Un<1
Avec U0= 1/2
Et Un+1= Un^2-Un+1
J’ai déjà fait l’initialisation pour n=0
Mais je suis bloquée à l’hérédité
J’ai noté : P(k) : « 1/2<=Uk<1 »
Et P(k+1) : « 1/2<=Uk+1<1 »
Or j’ai fait des recherches mais je ne vois pas comment avancer
(Je sais que pour Un+1 =f(Un) , la fonction est croissante à partir de 1/2)

[fatal_error]

Slt,

Un^2-un+1=un(un-1)+1
Pour majorer u_(n+1) tu peux tenter de trouver le max de un(un-1) en sachant que un est encadrée (hypothèse de recurrence)

[Ju64200]

Un <1
Donc 1(1-1)=0
Un(Un-1) ne peut être plus grand que 0 et est donc forcément négatif ?

[fatal_error]

Un-1 est forcement negatif. Son max est 0.
Le max de un(un-1) est atteint pour un=1 et vaut 0. Noter que un est forcement positif!! Sinon le max ne seriat pas 0...

On deduit u_(n+1)<=max(un(un-1))+1<=1

Meme idee pour la minoration

[GaBuZoMeu]

On peut aussi étudier la fonction sur l'intervalle .

[Ju64200]

La fonction est croissante sur [1/2;1]
Puisque 1>0
Et -b/2a = 1/2

[titine]

On suppose P(k) vraie c'est à dire :
1/2 <= Uk < 1 
Or tu as vu que la fonction f est croissante sur [1/2 ; 1] ce qui signifie que sur cet intervalle elle conserve l'ordre. Donc :
f(1/2) <= f(Uk) < f(1)
Je te laisse finir ...

[Ju64200]

Donc 3/4<=Uk+1<1
1/2<3/4<=Uk+1<1
Merci !