Dm suite 1s exo 3

[flo10]

On considère un carré ABCD de coté4, et le quart de cercle C1 de centre b passant par A et C et limité à ces points. On appelle B' le milieu de [BC] ; on construit le carrré O'C'B'C' et le quart de cercle C2 de centre B' comme indiqué sur la figure. On réitère le procédé de façon à construire une spirale par réunion de quarts de cercles successifs.

1)Désignons par Un la longueur de n^e quart de cercle Cn ainsi construit (n € N*).

a) calculez U1, U2, U3.
b)Donnez l'expression de Un en fonction de n.

2)calculez la longueur de la spirale obtenue avec n carrés.

3)On désigne par Vn l'aire de n^e carré construit.
calculez la somme An des aires des n premiers carrées.

merci de m'indiquez si mes résultats sont justes et m'aidez a la 3) car je n'y arrive pas.

merci

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1 ) a) U1 = 2II (2 pi)

U2 = II

U3= II/2

b) 2II/2n-1 = Un

2) La longueur de la spirale est égale a U1+U2+U3

3) Vn suite géométrique de raison = 1/4

Aire du carré

V1 =16
V2= 4
V3= 1

An= 64/3(1-(1/4)^n)
.......................
.......................
.......................

[le_fabien]

Bonjour,
bizarre ton O'C'B'C' à part B' je ne vois pas où sont les autres points.
Peux tu préciser ?

[flo10]

Exuse moi. C'est O'C'B'C

[Hydre]

Salut,
Si tu ne t'es pas trompé pour les calculs de U1 U2 et U3, la formule de la question 1b) est fausse (tester avec U2)... Moi j'aurais mis :

[flo10]

je ne pense pas mettre trompé dans les calculs. Est tu sur que ta formule est juste?

[Hydre]

La question n'a pas lieu d'être si on vérifie par un calcul simplissime :
En appliquant ta formule,
U1=2II/(2*1-1) (je suppose que tu as oublié les parenthèses sinon les calculs sont de toute façon faux)
U1=2II

U2=2II/(2*2-1) = 2II/3
ça bloque déjà sur U2...

Par contre ma formule marche pour U1, U2 et U3
Il faut maintenant faire la preuve par récurrence pour vérifier.

[flo10]

comment ça?

[Hydre]

Tu pourrais peut-être préciser un tout petit peu ta question ? :euh:

[flo10]

comment faire la preuve?

[Hydre]

Tu n'as pas encore vu les preuves par récurrence ?
Tu as une proposition dépendant de n, par exemple notée Pn.
1) On montre que P0 ou P1 (selon l'endroit où elle doit commencer) est vraie.
2) On suppose Pn vraie pour un n donné, et on aboutit au fait que P(n+1) est vraie
On a alors montré la proposition pour tout n.

[flo10]

je ne comprends pas ça. Je ne l'ai pas encore vu en cours.

[Hydre]

Possible. Je crois me souvenir qu'on ne le voit qu'en terminale.
Tu peux dans ce cas simplement affirmer que ta formule est bonne en montrant qu'elle marche pour les premiers rangs, mais ce n'est pas très satisfaisant...

Enfin si tu veux, tu peux comprendre quand même le concept :
Tu as une proposition dépendant de n, dont tu veux prouver la véracité pour TOUT n.
1) Tu montres qu'elle est vraie pour un certain n donné (rang n=0 par exemple) (initialisation).
2) Ensuite, en supposant qu'elle soit vraie à un rang n inconnu, tu essaie de prouver qu'elle est vraie au rang n+1.

En utilisant l'initialisation décrite plus haut, tu vois bien qu'après avoir prouvé ta proposition au rang n=1, comme tu as montré l'étape 2), alors la proposition est automatiquement vraie au rang n=2. Mais comme elle est vraie au rang n=2, elle est vraie aussi au rang n=3 (toujours par le point 2)).
Ainsi de proche en proche, la proposition est vraie pour tout rang n.

Tu as compris ?

[flo10]

Pourrais-tu me le faire voir pour la formule?

[Hydre]

Pour l'initialisation : voir le calcul de U1, qui marche avec la formule que je t'ai donnée.

Pour l'étape 2 :
tu suppose que tu es à l'étape n, que tu as bien
Alors dans ton carré, tu vois bien qu'il faut diviser cette aire par 2 pour obtenir Un+1 (là c'est pas très clair pour une première explication de récurrence, mais c'est aps facile sans le dessin...)
On aura donc que

[flo10]

J'ai pas trop compris. Faut-il que je justifie en mettant ces calculs sur la copie?

[Hydre]

Je pense que ça serait le minimum... Il faudrait aussi essayer d'expliquer par un shéma pourquoi Un+1=Un/2 (tu dessine un carré quelconque en supposant qu'on est à l'étape n, et tu dessine l'étape suivante...), en revenant éventuellement à la formule de la circonférence d'un cercle.

Bon courage !