Exo suite TS

[Ju64200]

Bonjour, je bloque sur un exo de raisonnement par récurrence, voici le sujet : La suite (Un) est définie par U0=3 et pour tout entier naturel n, Un+1=-Un+4.
1) Déterminez U1,U2,U3,U4,U5 et conjecturez l’expression de Un en fonction de n.
2) Démontrez cette conjecture par récurrence.

Alors j’ai déjà répondu à la question 1 : U1=1 ; U2=3 ; U3=1 ; U4=3 ; U5=1
J’ai donc conjecturé que : lorsque n est impair, alors Un=1 et lorsque n est pair Un=3
Cependant je bloque sur la démonstration
Est ce qu’il serait possible d’avoir une piste svp?

[LB2]

Ta conjecture est bonne. Un nombre n impair s'écrit n = 2p+1 et un nombre n pair s'écrit n = 2p

Essaie donc de démontrer par récurrence sur l'entier naturel p la propriété P(p) : "U(2p) = ... et U(2p+1) = ..."

[Ju64200]

Merci de votre réponse mais je ne vois pas par quoi commencer
J’ai noté à l’initialisation : pour n=1
U0+1=-3+4=1
U(2p+1)=1 Donc P(1) est vraie
Sauf que je ne pense pas que cela soit bon puisque je n’ai pas de supposion pour l’hérédité à part U(2n)=3 et U(2n+1)=1 alors qu’il me semble que c’est ce que je dois prouver ?

[GaBuZoMeu]

On peut aussi voir que et conjecturer une expression de valable pour tout entier naturel .

[danyL]

je n’ai pas de supposion (supposition) pour l’hérédité à part U(2n)=3 et U(2n+1)=1 alors qu’il me semble que c’est ce que je dois prouver ?

tu fais une supposition au rang n et tu dois prouver que la conjecture est vraie pour le rang n+1
sauf qu'ici c'est un peu différent il faut séparer le cas n pair et le cas n impair

en utilisant le relation U_n+1 = - Un + 4 :
si Un = 1 que vaut U_n+1 ?

si Un = 3 que vaut U_n+1 ?

[Ju64200]

Si Un vaut 1 Un+1=3
Et si Un vaut 3 Un+1=1

[LB2]

Merci de votre réponse mais je ne vois pas par quoi commencer
J’ai noté à l’initialisation : pour n=1
U0+1=-3+4=1
U(2p+1)=1 Donc P(1) est vraie
Sauf que je ne pense pas que cela soit bon puisque je n’ai pas de supposion pour l’hérédité à part U(2n)=3 et U(2n+1)=1 alors qu’il me semble que c’est ce que je dois prouver ?

Attention tu ne démontres pas P(1) en calculant U(1).
La propriété s'initialise à p=0, et démontrer l'initialisation P(0) signifie montrer DEUX égalités :
U(0) = 3
et U(1) = 1

Ensuite tu pourras faire l'hérédité.

Alternativement, tu peux suivre la méthode de Gabuzomeu (conjecturer une expression explicite de U_n en fonction de n avec du (-1)^n et la démontrer par récurrence classique) qui est plus adaptée au niveau lycée

[Ju64200]

Ce qui donnerait en expressions explicites :
Pour n pair : Un= (-1) puissance n +2
Pour n impair : Un= -(-1) puissance n
Et nous avons Un+1= -Un+4
Soit P(n) la propriété :  (celles au dessus pour n pair et impair)
Initialisation : pour n=0 : U0+1 = -3+4=1
U0= (-1) puissance 0 +2=3
Donc P(0) est vraie
Hérédité: k appartenant à N et k >=0
P(k) : Uk+1= -Uk+4
(-1) puissance k + 2
Et -(-1) puissance k
Il faudrait donc montrer P(k+1) avec
Uk+2=-Uk+1 +4 , (-1)puissance(k+1) +2 et -(-1)puissnce k+1
?

[GaBuZoMeu]

Pourquoi distingues-tu des cas pairs et impairs ? marche dans tous les cas !