Exerice d'olympiade académique

[pariAAboy]

bsr

voici le problème :


j'suis un peu perdu, j'ai du mal à trouver une stratégie pour résoudre cela, si vous avez des pistes j'suis preneur

merci

[catamat]

Bonjour
On travaille avec les profils.

Pour le 1°, Il suffit de démontrer que le cercle de centre I(0;0.1) et de rayon 0.1 n'a qu'un seul point d'intersection avec la parabole. Donc la bille peut se trouver dans cette position sans toucher les bords.
A partir des deux équations c'est assez rapide.

Idem pour le 2° mais là il faut démontrer qu'il n'y a pas qu'un seul point et donc que c'est impossible que la bille se trouve dans cette situation.

[Ben314]

Un truc rigolo : on met dans l'urne une première boule de rayon puis une seconde de rayon qui s'avère être en contact à la fois avec le paraboloïde (sur tout un cercle) mais aussi avec la première boule.
Quelle est la valeur de ?

[pariAAboy]

c'est bon j'ai trouvé

je pars de l'équation de cercle : R² = (x-a)² + (y-b)² (on reconnait pythagore by the way)
je remplace a par 0 et b par R, du coup j'ai :
R² = x² + (y-R)²
je remplace y par x² pour trouver les pts d'intersections du coup j'ai

R²= x²+ (x²-R)²
je travaille un peu l'expression et j'arrive à :
0 = x² -2R +1

ensuite je calcul le delta et je déduis pour quelle valeur de R j'ai un delta négatif et donc pas d'intersection et donc ma bille touche le fond donc j'arrive à :

-4(-2R+1)<0

R<1/2

donc si le rayon de mon cercle est inferieur à 0.5, ma bille touche le fond de l'urne

[catamat]

Oui c'est bon.

@Ben314
Je trouve R=r+1
Pour le moment j'ai des problèmes pour poster j'expliquerai plus tard mon résultat.

[catamat]

Si on veut empiler des billes...
Les ordonnées des centres sont y(n)=r²+nr+n²+0.25
les rayons r(n)=r+n

[catamat]

Les explications que je n'avais pas pu poster...
D'abord un résultat général
Soit T le point de tangence du cercle et de la parabole de coordonnées (t,t²) avec t>0.
L'équation de la normale en ce point est
Le centre I du cercle tangent en T à la parabole, situé sur l'axe des ordonnées, est donc

Pour le premier cercle, soit T=A(t;t²) le point de tangence, le centre du cercle I a pour coordonnées (0;t²+0,5), le rayon du cercle est r=IA tel que r²=IA²=t²+0,25
donc t²=r²-0,25
Le point I a pour coordonnées (0;r²+0,25)
Le point C, plus haut point du premier cercle sur l'axe des ordonnées, a donc pour coordonnées (0;r²+r+0,25)
ou encore (0;(r+1/2)²) par la suite je noterai (0;c) ces coordonnées

Passons au deuxième cercle
On change de point de tangence, notons le B, mais le raisonnement est le même.
Si t est l'abscisse de B(t;t²), le centre du cercle J a pour coordonnées (0;t²+0,5)
t doit vérifier JB²=JC² (i) où C(0;c)

en posant T=t²


donc , l'autre solution ne convient pas.
Finalement J(0;r²+2r+1,25)
et le rayon du deuxième cercle est JC==r+1