Exerice dans plan complexe

[pharaosdu49]

Bonjour, j'ai l'exerice ci joint à traité.

Le plan complex est rapporté au repere o, u, v. A est le point d'affixe i. A tout point M d'afixe z, distinct de i on associe M' d'affixe z' = (z²)/(i-z)

On note M'=f(M)

1- déterminer les point invariant par f
2- en écrivant z=x+iy, calculer en fonction de x et de y la partie réelle et imaginaire de z'.
3- en déduire l'ensemble E des point M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur
4- donner les caractéristique de E et le construire.

Je suis complétement perdu, ca fait 2h que je suis desus et je n'avance à rien.
Pour le 2-, je suis partit avec z=x+iy comme demandé et je trouve une partie réelle de (x²-x^3-y²+y²x)/(1+x) et une imaginaire de (-2xy²)/(1+x²).

c'est tout ce que j'ai trouvé.je ne voit pas comment déterminer les points invariant par f (j'ai cherché du coté de l'équation z=z' mais je n'avance pas.
Est-ce que c'est la bonne direction ?
pour les question 3 et 4 je ne peut rien faire car elle dépendent de 1 et 2.

Est-ce quelqu'un à une idée ??

D'avance merci

Pharaos

[fonfon]

Salut, oui c'est la bonne piste de calculer z=z' pour les points invariants

par contre pour la 2) je ne trouve pas comme toi

[pharaosdu49]

j'ai peut-etre trouvé une idée pour la une, j'arrive à obtenir un polynome du second degré ( z²-iz+1 = 0) et de la je trouve 2 solution 5/2-1/2i et -5/2-1/2i
Est-ce que c'est ca ? ca me parait bizarre.

par contre j'ai refait mon calcul pour le 2 et je trouve la meme chose.

Quelqu'un à une idée svp ?

Merci

Pharaos

[pharaosdu49]

pour la quesion 1 ,j'avai :

z' = (x+iy)² / (1-(x+iy) = (x²+2xyi-y²)/(1-x-iy)...
et j'obtien R= x²-x^3-y²+y²x / 1+x²
et IM= -2xy² / 1+x²

Est-ce que quelqu'un peut confirmer ?

Par contre pour le 3-, faut-il résoudre "partie réelle"=0 ?

Merci d'avance

Pharaos

[fonfon]

la question 1) ce sont les points invariants

donc il faut resoudre z'=z

soit

donc calcule à revoir

[pharaosdu49]

euhh oui ,autant pour moi, je voulai dire à la question 2 dans la réponse d'avant.

Pour la 1, j'avait trouvé, il faut réoudre l'équation de z(2z-i)=0. j'ai trouvé z =1/2i et z=0.

Je pense que c'est juste. (si quelqu'un peut confirmer)

Par contre jen revien a ma question 2 (voir le message d'avant)

Merci d'avance

Pharaos

[fonfon]

Re,
tu dois avoir mal recopier tu ecris:

z' = (x+iy)² / (1-(x+iy)

alors que :

[pharaosdu49]

c'est exact. merci.
Je trouve maintenant une partie réelle égale à x^3-xy² / -x²-y²-1 et une partie imaginaire égale à 2xy+2xy² / -x²-y²-1

Est-ce que cela est correct ?
Quelqu'un peut-il me dire si mon résultat à la question 1 est bon ?

merci d'avance

Pharaos

[fonfon]

Re, la question 1) est bonne je verifie la question 2

[fonfon]

Re, pour la 2) je ne trouve pas comme toi

je trouve


ce serait bien que quelqu'un d'autre fasse le calcul je pense que c'est ça mais j'ai pu faire une erreur de calcul

[pharaosdu49]

oki merci.
Je pense que pour la question 3, il faut résoudre l'équation R(z)=0.
Vu la question 4- je me demande si on ne doit pas trouver l'équation d'un cercle ou quelque chose comme ca.

[fonfon]

pour la 3) oui il faut bien resoudre

donc ne pas oublier le -x=0 ou x^2+y^2-2y=0

[pharaosdu49]

on ne peut âs résoudre x²+y²-2y =0 ??
est-ce qu'il ne faut pas directement parler d'équation de cercle ??

[fonfon]

on ne peut âs résoudre x²+y²-2y =0 ??
est-ce qu'il ne faut pas directement parler d'équation de cercle ??

oui c'est une eqaution de cercle mais il faut que tu precises son centre et son rayon tu dois l'avoir ds ton cours

[pharaosdu49]

non, je n'ait rien sur les équation de cercle mais j'ai regardé dans le livre, il faut utiliser (x-xO)²+(y-yO)²=R²

Mais comment utiliser cette formule ??

merci

Pharaos

[fonfon]

eh ben

on utilises la forme canonique



donc tu pourras conclure

[pharaosdu49]

donc E est un cercle de centre O (0 ; 1) et de rayon 1
Si je ne m'abuse, ca doit etre la bonne réponse.

merci de confirmer

encore merci

pharaos

[fonfon]

oui,c'est cela

[pharaosdu49]

Merci beaucoup de ton aide fonfon
merci à tous

Pharaos