Ts ; Exercices

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai quelques exercices à faire.
Voici les deux premiers enoncés:

1) Pour tout entier n de N (l'ensemble des entiers naturels) on pose:
Sn = 1 + 2³ + 3³ + ... + n³

Démontrer que Sn = ((n(n+1)/2)²

2) Soit la fonction f définie sur R (ensemble des nombres réels) par:
f(x) = (-3³ + 5x) / (x² + 3)

Et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O ; i ; j) d'unité graphique
1cm.

Qst1:
Déterminer les réels a et b tels que f(x) = ax + (bx) / (x² + 3)

Qst2:
Montrer que f est impaire.

Qst3:
- Calaculer f'(x) et montrer que f'(x) = ((x² + 15)(1 - x²)) / (x² + 3)
- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

Qst4:
Soit (D) la droite d'équation y = -x. Montrer que (D) est asymptote à
(C). Etudier la position de (D) par rapport à (C).

Qst5:
Soit (T) la tangente à la courbe au point d'abcisse 0
Ecrire une équation de (T)
Etudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la tangente (T)

Qst6:
Faire une représentation graphique.


Résultats trouvés:
1)
Initialisation:
Pour n=1:
S1 = 1
S1 = (1(1+1)/2)² = 1

=> Sn vérifiée pour n=1.

Hypothèse récurrente:
On suppose qu'il existe n >= 1 tel que Sn = (n(n+1)/2)²

Hérédité:
On montre que Sn+1 = ((n+1)(n+2)/2)²

Sn+1 = 1 + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n+1)³
= (n(n+1)/2)² + (n+1)³
= ((n²+n)/2)² + (n+1)³
=...
=(n^4 + 6n³ + 13n² + 12n +4) / 4

((n+1)(n+2)/2)² = ... = (n^4 + 6n³ + 13n² + 12n +4) / 4

Conclusion:
Pour tout n>= 1 Sn = (n(n+1)/2)


2)
1- f(x) = (-x³ + 5x) / (x² + 3)

Si f(x) = ax + (bx)/ (x² + 3) = (ax³ + 3ax + bx) / (x² + 3)
alors -x³ + 5x = ax³ + 3ax + bx
(pour moi):
-x³ = ax³ => a = -1
et:
5x = 3ax + bx = -3x + bx => b = 8.

f(x) = -x + 8x/(x²+3)

2- Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
-f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.

3- f'(x) = ... = (-x^4 - 14x² + 15)/ (x² + 3)²

(x² + 15)(1 - x²) / (x² + 3) = ... = (-x^4 - 14x² + 15) / (x² + 3)²

f'(x) est bien = à (x² + 15)(1 - x²) / (x²+3)²

TV:
Il n'y a pas de valeurs interdites car x²>= 0 +> x² + 3 > 0 => (x²+3)²>0

Soit X = x²
-X² - 14X + 15
delta = ... = 256
=> X1 = 1
=> X2 = -15

Si X1 = n² => n = 1 ou -1
Si X2 = n² ; n² = -15 (impossible)

Donc:
-infinie -1 1 +infinie
f'(x) - o + o -
____________________________|_____________|_________________________
f(x) (bas) | (haut) | (bas)
| |






Pour le moment je me suis arrêté là, j'aurai voulu savoir si je n'avais
pas fait d'erreurs, etc..

Merci d'avance :)

[Anonyme]

On Wed, 08 Sep 2004 17:30:24 +0200, Alexandre wrote:
>Hypothèse récurrente:
>On suppose qu'il existe n >= 1 tel que Sn = (n(n+1)/2)²

Je n'ai pas le temps de répondre au reste du message, mais « hypothèse
récurrente » et « hypothèse de récurrence » (je suppose que c'est bien
ça ?), ça ne veut pas vraiment dire la même chose...

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
413f2590$0$24263$626a14ce@news.free.fr...
>
> 2- Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
> f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
> -f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
> f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.

beurk !!!
Il faut d'abord préciser que \forall x \in R, -x \in R.
Sinon ca vaut la moitié des points avec un prof trop sympa, et 0 si c'était
moi.
pourtant chuis sympa hein

[Anonyme]

Romain M a écrit :
> "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> 413f2590$0$24263$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>2- Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
>>f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
>>-f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
>>f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.[/color]

> Il faut d'abord préciser que \forall x \in R, -x \in R.


Si je fais ça:
Pour tout x appartenant à R, on a tout (-x) appartient à R:

Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
-f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.


(C'est mieux ?)

La moitié des points c'est peut être parce que je vous ai épargné les
calculs, non ?

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
413f31c4$0$24268$626a14ce@news.free.fr...
> Romain M a écrit :[color=green]
> > "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> > 413f2590$0$24263$626a14ce@news.free.fr...
>
> Si je fais ça:
> Pour tout x appartenant à R, on a tout (-x) appartient à R:
>
> Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
> f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
> -f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
> f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.
>
>
> (C'est mieux ?)
>[/color]

impec

> La moitié des points c'est peut être parce que je vous ai épargné les
> calculs, non ?
>

non

C'est vraiment important de préciser que le domaine est "symétrique par
rapport à 0", même si c'est évident il faut l'écrire.
On peut s'amuser à inventer des fonctions comme
f : ]-infty,-1] U [0,+infty[ -> R
x -> sin(x)
(par exemple, j'invente n'importe quoi),
et cette fonction n'est pas impaire.

[Anonyme]

Romain M a écrit :

> "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> 413f31c4$0$24268$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Romain M a écrit :
>>[color=darkred]
>>>"Alexandre" a écrit dans le message de news:
>>>413f2590$0$24263$626a14ce@news.free.fr...
>>
>>Si je fais ça:
>>Pour tout x appartenant à R, on a tout (-x) appartient à R:
>>
>>Si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire.
>>f(-x) = ... = x - (bx) / (x + 3)
>>-f(x) = ... = x- (bx) / (x² + 3)
>>f(-x) est bien = à -f(x) donc la fonction est impaire.[/color][/color]

(Graphiquement), de plus on remarque que la courbe est symétrique par
rapport à 0.

[Anonyme]

J'ai un nouvel exercice, et je pense qu'un coup de pouce pour la
première question serait le bienvenu.

Soit (O;i;j) un repère orthnormé du plan. A est le point de coordonnées
polaires (r;x) avec 0=< x =< (pi)/2

ABC est un triangle équilatéral de centre 0 tel que (AB;AC) = (pi/3)

1a Exprimer le côté du triangle en fonction de r.


Je ne vois pas comment commencé ?

[Anonyme]

J'ai regardé toutes les questions du dernière exercice, mais je ne
comprends vraiment pas.
Je vais donc vous présenter l'énoncé complet:

Soit (O;i;j) un repère orthnormé du plan. A est le point de coordonnées
polaires (r;x) avec 0=< x =< (pi)/2
ABC est un triangle équilatéral de centre 0 tel que (AB;AC) = (pi/3)

1a Exprimer le côté du triangle en fonction de r.
1b Donner la mesure des angles orientés (OA;OB) et (OA;OC)
1c En déduire les coordonnées polaires de B et C dans le repère (O;i;j).
1d Déterminer les coordonnées cartésiennes de A, B et C.

2 E est le milieu de [AB]
2a Exprimer OE (vecteur) puis OC (vect.) en fonction de OA (vect.) et OB
(vect.)
2b Démontrer que OA+OB+OC = 0 (vecteurs).
cos x + cos (x + (2pi/3)) + cos (x - (2pi/3)) = 0

2c En déduire que:
sin x + sin (x + (2pi/3)) + sin (x - (2pi/3)) = 0



Voilà, si vous pouviez me donner un coup de pouce, merci :).

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
413f3b67$0$24269$626a14ce@news.free.fr...
> J'ai un nouvel exercice, et je pense qu'un coup de pouce pour la
> première question serait le bienvenu.
>
> Soit (O;i;j) un repère orthnormé du plan. A est le point de coordonnées
> polaires (r;x) avec 0=
> ABC est un triangle équilatéral de centre 0 tel que (AB;AC) = (pi/3)
>
> 1a Exprimer le côté du triangle en fonction de r.
>
>
> Je ne vois pas comment commencé ?
>

[C'est la longueur du côté qu'il faut exprimer, je suppose].

ABC est equilatéral et tu connais OA=OB=OC=r.
La valeur de x n'a aucune importance pour cette question.
Avec des outils de collège, on peut s'en sortir...

[Anonyme]

je crois que la réponse est sqrt(3)*r
je te laisse chercher un peu.

"Romain M" a écrit dans le message de news:
413f4132$0$24270$626a14ce@news.free.fr...
> "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> 413f3b67$0$24269$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > J'ai un nouvel exercice, et je pense qu'un coup de pouce pour la
> > première question serait le bienvenu.
> >
> > Soit (O;i;j) un repère orthnormé du plan. A est le point de coordonnées
> > polaires (r;x) avec 0= >
> > ABC est un triangle équilatéral de centre 0 tel que (AB;AC) = (pi/3)
> >
> > 1a Exprimer le côté du triangle en fonction de r.
> >
> >
> > Je ne vois pas comment commencé ?
> >
>
> [C'est la longueur du côté qu'il faut exprimer, je suppose].
>
> ABC est equilatéral et tu connais OA=OB=OC=r.
> La valeur de x n'a aucune importance pour cette question.
> Avec des outils de collège, on peut s'en sortir...
>
>[/color]

[Anonyme]

> C'est vraiment important de préciser que le domaine est "symétrique par
> rapport à 0", même si c'est évident il faut l'écrire.

même si c'est indispensable, pourquoi est-ce si important?
à vos yeux...

[Anonyme]

"MesNa" a écrit dans le message de news:
chnk22$qoh$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > C'est vraiment important de préciser que le domaine est "symétrique par
> > rapport à 0", même si c'est évident il faut l'écrire.
>
> même si c'est indispensable, pourquoi est-ce si important?
> à vos yeux...
>
>[/color]

Il s'agit d'un exercice de terminale, et à la fin de l'année, au bac, les
correcteurs ne mettent pas tous les points lorsqu'un candidat se contente de
montrer que f(-x)=+ou-f(x).
Donc c'est important pour un élève de terminale qui veut une bonne note au
bac de prendre l'habitude de rédiger correctement la réponse à cette
question.

[Anonyme]

Merci pour les bonnes habitudes à prendre, mais en ce qui concerne
l'exercice, j'ai un peu de mal.
On s'y est mis à plusieurs, et personne n'a trouvé de solutions !

On s'est retrouvé coincé, on ne sait pas comment faire pour commencer,
merci de bien vouloir nous donner un coup de main parce que là, .. on nage !

Merci d'avance :)

[Anonyme]

Je crois qu'en terminale je ne savais pas encore ce qu'étaient les
coordonnées polaires...
C'est peut-être là-dessus que tu bloques ?

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
414069d4$0$15547$636a15ce@news.free.fr...
> Merci pour les bonnes habitudes à prendre, mais en ce qui concerne
> l'exercice, j'ai un peu de mal.
> On s'y est mis à plusieurs, et personne n'a trouvé de solutions !
>
> On s'est retrouvé coincé, on ne sait pas comment faire pour commencer,
> merci de bien vouloir nous donner un coup de main parce que là, .. on nage
!
>
> Merci d'avance

[Anonyme]

Pour moi:
Les Coordonnées Polaires servent en trigonométrie.
Dans (O;i;j):
A un point de CP (r;x).
C-a-d:
La distance entre O et A est égale à r.
L'angle qui sépare i de [OA] est égale à x (rad).

[Anonyme]

t'as quand même su faire la première question depuis hier ?

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
41407322$0$32724$626a14ce@news.free.fr...
> Pour moi:
> Les Coordonnées Polaires servent en trigonométrie.
> Dans (O;i;j):
> A un point de CP (r;x).
> C-a-d:
> La distance entre O et A est égale à r.
> L'angle qui sépare i de [OA] est égale à x (rad).

[Anonyme]

Non.
J'ai laissé l'exercice où il était, et j'ai fait d'auters exercices.
On a regardé à plusieurs aujourd'hui, .. rien.
Donc voilà, .. j'en suis toujours au même point.

[Anonyme]

ABC est équilatéral et on cherche la longueur du côté AB.
O es le centre du triangle.
AOB est donc isocèle en O.
(AB,AC)=Pi/3 donc (AB,AO)=Pi/6.

Dessin artisanal :

O
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
A /____ |____\ B
H

j'appelle H le projeté orthogonal de O sur (AB).

AOB isocèle => AB = ck'oncherche = 2*AH

(AB,AO)=Pi/6 et AO = r
bon voilà je vais quand même pas tout écrire...

En troisième on sait faire ça non ?

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
41407f3b$0$30090$626a14ce@news.free.fr...
> Non.
> J'ai laissé l'exercice où il était, et j'ai fait d'auters exercices.
> On a regardé à plusieurs aujourd'hui, .. rien.
> Donc voilà, .. j'en suis toujours au même point.
>

[Anonyme]

Oups, .. oui!

1a.
....
2*r*sqrt(3) = r * sqrt"3)

1b.
les mesures dans angles orientés (OA;OB) et (OA;OC):
Le triangle BOA est isocèle.
BAO (angle) vaut pi/6.
Donc (OA;OB) = (pi) - 2*(pi/6) = 4pi/6 = 2pi/3
Idem pour (OA;OC).

1c. Les coordonnées polaires de B et C.

A(r;x)
=> B(r; x+ 2pi/3)
=> C(r; x+ 4pi/3)

1d. Les coordonnées cartésiennes de A,B et C ?

Comment fait-on ?

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Oups, .. oui!
>
> 1a.
> ...
> 2*r*sqrt(3) = r * sqrt"3)
>
> 1b.
> les mesures dans angles orientés (OA;OB) et (OA;OC):
> Le triangle BOA est isocèle.
> BAO (angle) vaut pi/6.
> Donc (OA;OB) = (pi) - 2*(pi/6) = 4pi/6 = 2pi/3
> Idem pour (OA;OC).
>
> 1c. Les coordonnées polaires de B et C.
>
> A(r;x)
> => B(r; x+ 2pi/3)
> => C(r; x+ 4pi/3)
>
> 1d. Les coordonnées cartésiennes de A,B et C ?
>
> Comment fait-on ?
>

si tu as les coordonnées polaires tu as les coordonnées cartésiennes.
A(r,x) a pour coordonnées cartésiennes (r*cosx, r*sinx) (fais un dessin).

--
albert