Exercices de mathématiques niveau 1ère

[Mll]

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -2/3 x au cube + 5/2x² + 3x - 1

1) Calculer f'(x) pour tout x
2) Etudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f
3) Calculer lim f(x) et lim f(x) et compléter alors le tableau de variation
x-> -infini x-> +infini

Exercice 2

Ville nouvelle
On note f(x) la population (en milliers) d'une ville fondée en 1960, où x désigne la durée écoulée depuis début 1960, exprimée en années:

f(x)= 60x+40/x+10 et x E (0;+infini)

1) a) Justifier que la population est croissante
b) Résoudre f(x)= 52

En déduire à partir de quelle année la population de cette ville sera supérieure à 52000 habitants.

2) Quelle est la limite de f en +infini ? En donner une interprétation quant à la population de cette ville

[Ericovitchi]

oui mais qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ou qu'est-ce que tu as fait ? Tu ne comptais pas sur nous pour faire les exercices à ta place, quand même ?

[Mll]

Pour l'instant j'ai calculé 1) f'(x) = -2x²+5x+3

2) j'ai calculé delta= b²-4ac= 5²-4x-2x3= 49

x1=3
x2=-0.5

J'ai ensuite fait le tableau de variation de f

3) f(x) = (-2/3)x au cube + (5/2)x² + 3x-1

lim (-2/3)x au cube = + infini
x->-infini

lim (5/2)x² = - infini
x->-infini


lim 3x-1 = - infini
x->-infini

donc lim f(x) = - infini????
x->-infini

Idem pour lim
x->+infini


Pour l'exercice 2 1) a) la population est croissante car on se trouve sur (0;+infini)

b) f(x) = 52
(60x+40)/(x+10)=52
60x+40 =52 et x+10=52

Puis on calcule, non ?

[Titoww]

Pour le calcul de limite, il faut regarder ce qui est "gros" à l'infini. En effet, si tu prends une valeur grande de x, x^2 sera de plus en plus négligeable devant x^3.

Ainsi la limite en +/- l'infini d'une fonction du type ax^3+bx^2+cx+d sera la limite du terme ax^3.

Pour l'exercice 2 ta justification est fausse . Je te donne un contre exemple : si la population suivait une relation du type f(x)=1/x , la population serait décroissante, quand bien même on est sur ]0, +infini[ . Mais tu connais une autre méthode pour connaître la croissance d'une fonction ( voir exercice 1... ).

Pour résoudre l'équation f(x)=52, tu n'a spas 60x+40 = 52 et x+10 = 52 sinon tu trouves deux solutions différentes!
Multiplies les deux côtés de l'égalité par (x+10), isole l'inconnue et regarde ce que tu obtiens.

[Mll]

Merci pour ton aide!! Par contre pour connaître la croissance d'une fonction je dois calculer sa dérivée? (exercice 2)