Exercice sur une fonction trigonométrique.

[Minineutron]

Bonsoir, je n'arrive pas à faire entièrement cet exercice.

Un triangle ABC isocèle de sommet principal A est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. Soit x la mesure en radians de (OH,OB) telle que 0 (inférieur ou égal à) x (inféiruer ou égal à) pi/2. H est le pied de la hauteur issue de A.
1) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle ABC, que l'on note A(x).
Je trouve : A(x)= 2sinxxh/2. Car BC=2BH et BH=BOsinx.

2) Résoudre dans [0,pi/2] l'équation 2cos²x+cosx-1=0. J'ai posé X=cosx et j'ai factorisé, je trouve: 2(cosx+1)(cosx-1/2)=0. Mais j'ai un problème avec le signe de cosx+1, comment étudier son signe? Sinon pour (cosx-1/2) c'st bon. Ensuite, je pense qu'il suffit de faire un tableau de signe et on trouve le signe de l'équation et on la résout donc.

3) Etudier le sens de variation de la fonction A définie sur [0,pi/2]

Bah là j'ai pas trouvé A, donc j'en sais rien. Mais sinon j'utilise sa dérivée.

4) En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale.

Là, je ne sais pas quelle méthode il faut faire? Comment fait-on?



Merci, vous me serez d'une grande aide.
Bonne soirée.

[saintlouis]

Bonsoir

Exo 2)

Equation 2cos ² + cos x -1 =0
Poser cos x = X
=> 2X² +X -1=0
Tu calcules les racines en déterminant b²-4ac ....

[Huppasacee]

En complétant le conseil de saintlouis, en posant X = cosx, tu n'oublieras pas de remarquer que si X est un cos, il doit avoir une valeur absolue inférieure à 1

Donc si ton équation du second degré donne une solution en dehors de cet intervalle, elle est à rejeter.

De plus , quand tu trouveras X, donc cosx, il faudra que tu utilises ton cercle tigonométrique pour ne pas oublier un angle

je te rappelle que si cos a= 1/2, il y a 2 solutions :
a = + pi/3 et a = - pi/3

tu essaieras de ne pas oublier de solution

[saintlouis]

Bonjour

Pour le 1, si x est la mesure en radians de (OH;OB)
on a bien Sin x = BH/OB = BH...dans le triangle rectangle OHB

[Minineutron]

Bonjour, ah oui donc je n'étudie en faîte que le signe de (cosx-1/2) ? étant donné que si j'étudie le signe de cosx+1, je trouve un résultat qui est en dehors de l'intervalle d'étude.

par contre, pourquoi il y a -pi/3 aussi? ca n'appartient pas à [0,pi/2]??

Donc en faîte, la solution de l'équation 2cos²x+cosx-1 c'est pi/3.


Pourla 1), comment fait-on pour trouver A(x)? J'ai trouvé A(x)= 2sinxxh/2.mais je ne sais pas si c'est bon.

[saintlouis]

Bonjour

Aire d' un triangle = Base * hauteur/2 = Base * h/2( h = AH)
La base est BC = 2BH( tr.ABC isocéle..)
Je t' ai monté que sin x = BH/0B = BH /1=> BH= ......Remplace..
Donc A(x) =..

OK??

[Minineutron]

mais je vous ai mis mon expression!

j'ai trouvé (2sinx x h )/ 2

[Minineutron]

Comment étudier le sens de variation de A(x) si j'ai un h dans mon expression?

[Minineutron]

Voilà, j'ai trouvé A(x)=cos(x+1)sinx.

Pour la 3) , je cherche sa dérivée et je trouve A'(x)=-sin(x+1)cosx.

Je bloque pour étudier leur signe.

[saintlouis]

Re


Je ne trouve pas cela h = AH = AO +OH
Or OH²= 1- cos²x=> OH = sinx
=> AH = h = 1+sinx et A(x) = 2sinx (1+sinx)/2 = sinx (1+sinx)

Vérifie tes calcules puis calcule A²(x) puis les variations de A(x)

[Minineutron]

mais OH c'est aussi égal à cosx
donc AH=cosx+1.

je ne trouve pas pareil que vous.

[saintlouis]

Bonjour

Tu as raison
BH = sinx et OH = cos x
Donc AH = AO +OH = 1 + cos x
Alors A(x) = sinx *(1+cosx)..............................et non sinx cos (x+1)
Calcul alors A' (x)

[Minineutron]

C'est bon, j'ai fini.

Merci!!

[saintlouis]

Je suis curieux de voir tes calculs.