Limite du rapport d'une fonction trigonométrique sur une fonction logarithmique

[hamster99]

Bonjour

Je cherche la limite pour x tendant vers 0 du rapport
f = 1-cos(x) / ln(1+x)
Ces deux fonctions étant dérivables au voisinage de zéro la réponse me semble être:

limite pour x-> 0 de sin(x) * (1+x) soit 0 (règle de l' Hopital)

Cependant lorsque je trace la fonction f avec mon logiciel, il est évident que la pente de la tangente en x=0 de f est 1/2.

Qu'en est-il au juste?

Merci

[vincentroumezy]

Bonjour.
oui, ça fait 0, et oui, la pente en 0 est 1/2, je ne vois rien de contradictoire;

[spike0789]

Salut,

C'est normal. Tu cherches la limite en 0 de ta fonction qui vaut bien 0. Or si tu calcules la limite de la dérivée en 0 tu auras 1/2.
La pente de la tangente en 0 correspond à la valeur prise par la dérivée en 0.

Avec ton logiciel, ta fonction passe bien par l'origine ?

[vincentroumezy]

Pour un exemple extrême, x->x/2 tend vers 0 en 0 et a clairement une pente (constante) valant 1/2.

[Archibald]

Et plus généralement, , avec première dérivée non nulle.

Tout comme la règle de l’hôpital, on utilise les DL.

[hamster99]

Bonjour.
oui, ça fait 0, et oui, la pente en 0 est 1/2, je ne vois rien de contradictoire;

Effectivement j'ai fait une confusion car je n'ai pu résoudre f ' (0):
La dérivée de f après mise en facteurs est assez complexe:
(-1 + cos(x) + (1 + x) ln(1 + x) sin(x))
/ ((1 + x) ln(1 + x)^2)

f ' (0) pour moi est indéterminé - c'est 0/0 - je trouve 1/2 uniquement au voisinage de 0 en excluant 0.
Donc selon moi la fonction f n'est pas dérivable strictement en 0 (est ce que la fonction f est vraiment définie en x= 0 ? ) et je ne comprends pas pourquoi la formule de Taylor -MacLaurin que vous avez mise dans une autre réponse s'applique en x= 0 ici.

[hamster99]

Salut,

C'est normal. Tu cherches la limite en 0 de ta fonction qui vaut bien 0. Or si tu calcules la limite de la dérivée en 0 tu auras 1/2.
La pente de la tangente en 0 correspond à la valeur prise par la dérivée en 0.

Avec ton logiciel, ta fonction passe bien par l'origine ?

Bonjour
De visu la fonction passe bien par 0 mais tous les graphiques affichés par logiciels sont faits par échantillonnage de points - je ne peux savoir si cette fonction passe précisément par le point (0,0). J'en doute (vois ma réponse au modérateur)

[chan79]

Bonjour
De visu la fonction passe bien par 0 mais tous les graphiques affichés par logiciels sont faits par échantillonnage de points - je ne peux savoir si cette fonction passe précisément par le point (0,0). J'en doute (vois ma réponse au modérateur)

La fonction f n'est pas définie en 0 mais on peut la prolonger par continuité:
g(x)=f(x) si x est non nul
g(0)=0
Pour savoir si g est dérivable en 0, on calcule la limite de quand x tend vers 0 et on trouve 1/2.

[vincentroumezy]

Effectivement j'ai fait une confusion car je n'ai pu résoudre f ' (0):
La dérivée de f après mise en facteurs est assez complexe:
(-1 + cos(x) + (1 + x) ln(1 + x) sin(x))
/ ((1 + x) ln(1 + x)^2)

f ' (0) pour moi est indéterminé - c'est 0/0 - je trouve 1/2 uniquement au voisinage de 0 en excluant 0.
Donc selon moi la fonction f n'est pas dérivable strictement en 0 (est ce que la fonction f est vraiment définie en x= 0 ? ) et je ne comprends pas pourquoi la formule de Taylor -MacLaurin que vous avez mise dans une autre réponse s'applique en x= 0 ici.

C'est avec un développement limité au premier ordre que j'obtiens que f(x) équivaut à x/2 quand x tend vers 0, cela donne la limite en 0, et la valeur de la limite de la dérivée en ce point.

[hamster99]

La fonction f n'est pas définie en 0 mais on peut la prolonger par continuité:
g(x)=f(x) si x est non nul
g(0)=0
Pour savoir si g est dérivable en 0, on calcule la limite de quand x tend vers 0 et on trouve 1/2.

Merci pour votre réponse, c'est enfin devenu clair.
Un prolongement par continuité n'est valable que si cette limite quand x tend vers 0 existe n'est-ce pas?

[chan79]

Merci pour votre réponse, c'est enfin devenu clair.
Un prolongement par continuité n'est valable que si cette limite quand x tend vers 0 existe n'est-ce pas?

comme la limite de f(x) quand x tend vers 0 est nulle, on pose g(0)=0 et la fonction g est ainsi continue en 0
Si la limite en 0 avait été 3, on aurait posé g(0)=3