Je l'ai démarré mais je sèche sur une question.
Voici l'énoncé, les questions et mes réponses :
On considère la suite (un) définie par :
- u0=0
- Pour tout n appartennant à N , un+1=
On va chercher à déterminer une expression de un en fonction de n
On pose n, vn=
1) Calculer u1, u2 et u3
Réponse : u1 = 4 ; u2 = 8/3 ; u3 = 12/5
2) La suite un ess elle arithmétique ? Géométrique ?
Réponse : u2-u1 u1-u0 et u2/u1 u1/u0 donc la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
3) On note f la fonction définie sur ]2;4] par f(x)=\frac{3x-4}{x-1}
a- Etudier les variations de f sur ]2;4].
Réponse : Je fais la dérivée et je trouve \frac{1}{(x-1)^2} qui est strictement positif. Je pose le tableau de variation et j'en conclus que f(x)2
b- En déduire que pour tout x appartenant à ]2;4], f(x) appartient à ]2;4]
Réponse : f'(x)]2;4]
D'après le tableau de variation on trouve que f(2)=2 et f(4)=8/3 donc f(x)]2;4]
4) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n1, un]2;4]
Réponse : Notons (Pn) "2<un<4"
Montrer que P2 vraie càd 2<u2<4. u2=8/3 donc P2 vraie
Soit n, supposons Pn vraie càd 2<un<4.
Montrer que (Pn+1) vraie càd 2<un+1<4 2<f(un)<4
D'après l'hypothèse de récurrence, 2<un<4. De plus f est strictement croissante sur ]2;4] 2<f(un)<4 donc 2<un+1<4 donc Pn+1 vraie
D'après le principe de récurrence, 2<un<4
5) En déduire que les suites (un) et (vn) sont bien définies sur ]2;4]. Cet intervalle sera nommé I
Réponse : On a prouvé que (un) appartient à I ce qui signifie que (un) appartient à N
La suite (vn) admet une VI=2. Ainsi, comme (un) appartient à I la suite (vn) ne démarre qu'à partir de u1=4 On a donc une suite (vn) strictement positive donc (vn) appartient à N
6) Montrer que vn est arithmétique
Réponse : vn=1/(un-2) ; vn+1=1/(un+1-2)
Par conséquent, vn+1=1/[[(3un-4)/(un-1)]-2]
Et à partir de là je ne parviens pas à calculer vn+1 - vn.
7) En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de vn en fonction de n
8) Déterminer pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n
9) Calculer u1000
Voilà donc comme vous pouvez le voir je bloque à partir de la question 6).
Merci à vous pour votre aide
