Exercice sur les suites niveau 1S

[ranana]

Je bloque complètement sur un exercice je suis complètement perdue, je n'ai réussi que la question 1)A). Aidez moi svp le voici : On considère la suite (Un) définie par U0=3 et Un+1=1.05Un -0,1 pour tout entier naturel.
1)A) Calculer U1 et U2. J'ai trouvé U1=3.05 et U2=3.1025
B) (Un) est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifier
2) On pose pour tout entier naturel Vn=Un-2
Exprimer successivement :
a) Un en fonction de Vn
b) Vn+1 en fonction de Un+1
c) Vn+1 en fonction de Vn
3)A) En déduire la nature de Vn puis les expressions de Vn et de Un en fonction de n.
B) Retrouver alors les résultats de la question 1)A)
C) Déterminer le sens de variation de (Un).
SVP AIDEZ MOI JE SUIS COMPLÈTEMENT PERDUE
MERCI D'AVANCE

[bolza]

Bonjour,

Pour la question 1)A) tu as

U1= 1,05*U0-0,5 = 1,05*3-0,5 = ...
U2=1,05*U1-0,5 = ...

Ensuite pour 1)B) c'est quoi une suite géométrique et une suite arithmétique ?

[siger]

bonjour,

U(n+1) = U(n) *1,05 - 0,5 (?????)

Comment as-tu fait pour trouver les valeurs de U1 et U2?
si tu trouves U1 = 3;05 et U2 = 3,1025 c'est que ta definition de la suite est U(n+1)=U(n) *1,05 -0,1 (ce qui correspond au resultat de la question 3)

soit r la raison de la suite,
une suite arithmetique est definie par U(n+1)-U(n) = r
une suite geometrique est definie par U(n+1)/U(n)=r
donc la suite considerée n'est .........

on trouve V(n+1) = 1,05 *V(n) .......

[ranana]

On trouve U1= 3.05 et U2=3,1025
Une suite est arithmétique s'il existe un réel R tel que Un+1=Un +R ( allez voir une définition sur internet si ce n'est pas clair pour vous)

[ranana]

Je n'arrive pas à trouver si elle est arithmétique ou géométrique

[bolza]

On trouve U1= 3.05 et U2=3,1025
Une suite est arithmétique s'il existe un réel R tel que Un+1=Un +R ( allez voir une définition sur internet si ce n'est pas clair pour vous)

Oui et si Un+1=Un+R ça veut dire que Un+1 - Un = R, ce qui reviens au même que ce que t'a dit siger.
Donc pour vérifier si une suite est arithmétique il suffit de regarder si la quantité Un+1 - Un est constante ou pas . On a un raisonnement similaire avec les suites géométriques.

[ranana]

Le quotient n'est pas constant donc elle n'est pas géométrique mais arithmétique de raison R=0,0525 c'est ça ?

[bolza]

Oui, elle n'est pas géométrique c'est bien ça.
Mais quel est ton calcul de Un+1 - Un ?

[ranana]

J'ai fait U2-U1= 3,1025-3,05= 0,0525 donc elle est arithmétique de raison R= 0,0525
Mais je ne comprend toujours pas le 2)

[bolza]

Non, Il ne faut pas faire U2 - U1 mais Un+1 - Un, si la suite est arithmétique,
la valeur Un+1 - Un doit être la même quelque soit la valeur de n !

[ranana]

Comment fait-on dans ce cas là ? Je ne vois pas comment faire

[bolza]

Il suffit de remplacer Un+1 par son expression.
Ou alors comme tu as calculé U2-U1 tu peux aussi calculer U1-U0.
Si tu trouve le même résultat que U2-U1 alors peut-être que la suite est arithmétique.
Sinon la suite n'est pas arithmétiques.

Mais il vaut mieux que tu t'entraîne à faire le calcul général car c'est le genre de chose que tu devra faire souvent.

[ranana]

J'ai trouvé 1.05Un+1 -0,1-1.05Un+0,1 mais je suis bloquée à cet endroit je ne sais pas quoi faire après

[bolza]

Tu veux calculer Un+1 - Un, tu sais que Un+1 = 1,05Un - 0,1.
Si tu remplaces tu dois obtenir :

(1,05Un-0,1) - Un = ....

[ranana]

Mais on ne connaît pas Un alors comment fait-on ?

[bolza]

Connaître Un ici n'est pas très important. La question est de savoir si la valeur est constante ou pas.
Or ici on peut simplifier l'expression en 0,05Un-0,1. Donc Un+1 - Un dépend clairement de Un.

Ceci permet-il de conclure que Un+1 - Un n'est pas constant ?

[ranana]

D'accord donc on peut dire que Un+1-Un est constant

[bolza]

Un+1 - Un = (1,05Un - 0,1) - Un = (1,05-1)Un - 0,1 = 0,05Un - 0,1.

0,05Un - 0,1 est-elle constante quand n varie ?

[ranana]

Oui elle est constante car n est un entier naturel

[bolza]

Tu veux dire que comme n est un entier naturel, il ne peut pas varier ?