Exercice pour demain sur les suites, niveau TS... dernière question?

[alice32]

Voilà mon exercice… Je suis parvenue avec aide à faire les 2 premières questions, cependant la dernière me pose problème…
Donc je vous écrit ce que j’ai trouvé et je vous demande votre aide pour la question 3 car je n’arrive pas à appliquer la démonstration par récurrence sur cet exemple…
Pouvez vous m'aider?

La suite de polynômes (Qn) est définie par:
- pour tout x réel, Q0(x) = 1
- pour tout entier naturel n, pour tout réel x, Qn+1(x) = xQn(x+1)

1. Déterminez Q1(x) et calculez Q2(x) et Q3(x) sous forme factorisée.
2. Conjecturez une écriture factorisée possible de Qn(x).
3. Démontrez cette conjecture.


1) on applique la formule:

Q1(x)=x*Q0(x+1)
Q1(x)=x*1=x

Q2(x)=x*Q1(x+1)
Q2(x)=x*(x+1)

Q3(x)=x*Q2(x+1)
Q3(x)=x*((x+1)*(x+2))
Q3(x)=x*(x+1)*(x+2)


2) on conjecture que
Qn(x)=x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)



Un grand merci pour vos futures réponses!

[lapras]

Bonsoir,
connais tu la récurrence ?

[alice32]

Oui j'ai vu la démonstration en cours, cependant, je n'arrive pas à l'appliquer dans cet exercice...

J'ai vraiment besoin d'aide!

[lapras]

Ok c'est simple :
Tu vérifie au rang n=1 ; 2 ... que Qn(x)=x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1).
C'est l'hypothese de récurrence
Maintenant, en admettant que Qn(x)=x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)., alors démontre que la propriété est vraie au rang n+1
Or ca tombe bien, tu as Qn+1(x) en fonction de Qn(x)
Calcule, et trouve que :
Qn+1(x) = x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)*(x+n) = x*(x+1)*(x+2)*...*(x-1+(n+1))

Tu as donc démontré la propriété au rang n+1, et donc pour tout n, alors
Qn(x)=x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)

[alice32]

Je ne comprend pas cette étape...
Qn+1(x) = x*(x+1)*(x+2)*...*(x+n-1)*(x+n) = x*(x+1)*(x+2)*...*(x-1+(n+1))

Comment on en arrive là?

[lapras]

(x-1+(n+1)) = (x+n)
:ptdr:

[alice32]

Alors je ne comprend pas en quoi cela prouve la conjecture...

[ptilulu]

[FONT=Comic Sans MS]Est-ce que quelqu'un pourrais nous aidez?
On a chercher toute l'aprem mais on a rien trouvé... :triste:
Pourriez vous nous donnez juste une petite piste pour cet exercice??? :id:
S'il vous plait s'il vous plait !!!

_________________
**I LoVe HcM ^^** [/FONT]