Exercice sur les récurrence et les limites

[Kuro]

J'ai essayé de débuter l'initialisation, en marquant u(0) inférieur ou égale à 1 et est remplacé par -1, mais après pour la suite et pour l'exercice 2 je galère trop ! Aidez moi svp ! Merci d'avance !

Ex 1:
Soit (U(n)) la suite définie par u(0)=-1 et, pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,2u(n)+0,6
Démontrer par récurrence que pour, pour tout entier naturel n, u(n) inférieur ou égale à 1

Ex 2:
Soit (V(n)) une suite telle qu'il existe un entier naturel N pour lequel on a v(n) inférieur ou égale à 10 000 000 pour tout n supérieur ou égale à N. Peut on alors conclure que "lim de v(n) quand n tend vers plus l'infini = moins l'infini"

[Rdvn]

Bonsoir
Ex2 êtes vous sûr de votre énoncé ?
Parce que si oui, il est clair que la réponse est non , il y a une infinité contre -exemples :
v(n) = 0 pour tout n , par exemple

[Kuro]

Merci de prendre le temps de vous attarder sur mes exos tout d'abord, et oui je suis sûr, j'ai recopié l'énoncé de l'exercice, je n'arrive pas à rajouter la photo au message, pour je ne sais quelle raison, encore merci.

[Rdvn]

Bon
Alors votre exercice 2 est terminé : vous avez la réponse
Exercice 1 essayez d'écrire le début, selon le modèle de votre cours
A vous ...

[Kuro]

Merci, je vais réessayer l'exercice 1, mais sinon, pour l'exercice 2, cela suffit comme justification ?

[Rdvn]

Oui
En maths, pour montrer qu'une propriété est fausse, il suffit de montrer un exemple où
cette propriété est fausse.

ici on considère la suite définie par v(n) = 0 pour tout enter naturel n
la suite vérifie la condition imposée mais lim (v(n)) =0

On peut trouver plein d'autres contre - exemples :
v(n) = (-1)^n vérifie la condition imposée mais n'a aucune limite

persévérez sur ex 1, je vous aiderai selon difficultés rencontrées

[catamat]

Bonjour

Pour l'exercice 2, si l'énoncé est celui écrit, la solution de Rdvn est parfaitement correcte.

Mais il me semblerait plus logique que ce soit -10 000 000 non pas +10 000 000 qui pourrait faire penser que la suite a pour limite - infini.

Mais ceci est bien sûr faux, comme contrexemple on peut citer u(n)=-10 000 001
qui respecte la condition mais a pour limite -10 000 001

Pour que la limite soit -infini il aurait fallu que la propriété soit vraie pour tout réel -A (avec A positif choisi arbitrairement grand) et non pas seulement pour -10 000 000

[Kuro]

merci, mais je ne comprend toujours pas comment rédiger la réponse svp .

[Rdvn]

Pour ex 2 il suffit de recopier :
la propriété est fausse car :
si on considère la suite définie par v(n) = 0 pour tout enter naturel n,
la suite vérifie la condition imposée mais lim (v(n)) =0
(ou la solution de catamat si après relecture c'est -10 000 000 )
et c'est fini

Où en etes vous pour ex 1 ?

[Kuro]

Encore merci, et pour l'ex 1 je pense avoir réussi, non sans quelques difficultés, voici l'ex 1 : https://we.tl/t-dX9aEQBbHD

[Rdvn]

Difficile à lire (trop peu contrasté) et même illisible
Faites une photo plus nette et insérez la :
voir page d'accueil en haut
Comment insérer une image
par GaBuZoMeu

En cas de difficulté gardez votre hébergeur mais avec une photo lisible
ou recopiez dans votre message : ça ne fait que quelques lignes

[mathou13]

Bonjour,

u(0)=-1
un+1=0,2un+0,6

u(0)<1
Si un<1 alors 0,2un+0,6<0,2+0,6 donc un+1<0,8<1

Donc nous avons démontrer la recurence