Exercice Suites terminale S

[adzoline]

Bonjour, j'ai un DM dont je suis bloquée à la question e.
Voilà l'énoncé:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel par:
Un = 2^n/n! et Vn = (Un+1)/(Un)

a) Exprimer Vn en fonction de n puis montrer que la suite (Vn) est décroissante.

b) En déduire que, pour tout n3:
Un+1[inferieur ou égal à ](1/2)Un

c) Montrer par récurrence que, pour tout n3:
Un[inférieur ou égal](1/2)^n-3U3
d) En déduire la limite de (Un) quand n tend vers +infini

e) On pose pour tout entier naturel n :
Sn = U0+U1+U2+...+Un
Montrer que Sn est majorée par U0+U1+U2+2U3
En déduire un encadrement de Sn.

Je suis coincée à la question e !! aidez moi s'il vous plaît !

[Ericovitchi]

Sers toi des questions d'avant. Tu as montré que chaque Un était majoré (pour n>3 c'est ça ? parce que tu as écris "pour tout n3" ) donc majores Sn en majorant chaque Un

[adzoline]

D'accord.. voilà ce que j'ai fais :

U0[inferieur ou égal] (1/2)^-3U3
U1 [inferieur ou égal] (1/3)^(1-3)U3
Et ainsi de suite
C'est bien ? désolée pour la lisibilité je n'arrive pas à faire les balises malgré post sur le sujet dans ce forum ...

[adzoline]

Ah je crois avoir compris les balises : je la refais :




Et ainsi de suite
C'est bon ?

[Sylviel]

C'est pas mal sauf que tu ne peux rien dire pour U_0, U_1 ou U_2, c'est seulement à partir de U_3 que tu peux écrire ces majorations. Si tu les écris les unes sous les autres tu verras plus facilement que tu peux les sommer...

Pour l'écriture en TEX : il faut cliquer sur le bouton "TEX" en haut à droite au dessus de ton message et rentrer le code. Quelques indications :
si tu veux faire des blocs de choses il faut les mettre entre { }
"^" signifie que tu mets en exposant. Exemple (1/2)^{-3}
"_" signifie que tu mets en indice. Exemple U_0 (l'underscore se situe généralement sous le 8 de ton clavier)
"\leq" (lower or equal) signifie inférieur ou égal
"\geq" (greater or equal) signifie plus grand ou égal
A toi de jouer

[adzoline]

Merci beaucoup pour les balises =) et pour votre aide

Alors Pour je trouve :



=
Mais ça me semble bizarre... non ?

[Ericovitchi]

Vous avez dit bizarre ? :zen: En tous les cas c'est vrai puisque U3=U3

[adzoline]

Ah oui ^^
Mais donc là je suis désolée je vois pas du tout à quoi ça mène , puisque le but est de trouver un majorant...

[Sylviel]

Et bien comme je te l'ai conseillé écris les inégalités chacune les unes sous les autres et fais la somme. Cela te donneras à gauche le truc à majorer et à droite une somme particulière...

[adzoline]

D'accord. Voilà ce que j'ai calculé :

+ +...+

Et donc

C'est juste ?

[adzoline]

Et après j'essaie de transformer
En ?

[Sylviel]

Je ty'ai dit, si tu avais lu mon premier post, que tes inégalités sont fausse au début. Par ailleurs pourquoi majorer U0 U1 et U2 alors qu'ils apparaissent explicitement dans le majorant ? Refait pareil mais en conservant U0 U1 et U2, par contre après tu majores par ...U3 dont tu peux déterminer la somme

[mathelot]

Bonsoir,

ta suite (u_n) est "sous-géométrique" dès
et ses sommes seront donc majorées par les sommes d'une progression géométrique de raison

le souçi , c'est décrire des inégalités à partir du rang et non pas du rang