Exercice suites

[Inescafe]

bonjour voici mon énoncé
pour tout n, IN, on pose
le but de l'exercice est d'étudier la convergence de (Un)
1)déterminer la limite de chacun des termes de cette somme n/(n²+k) pour k entier variant de 1 à n peut-on en déduire la limite de (Un)?
2)a) démontrer que pour tout n, de IN,
n²/n²+n ≤ Un ≤ n²/n²+1

b)déterminer alors lim Un
       
pour la première question j'ai déterminer la limite du premier terme et du dernier, cela donne
lim n/n²+1 = lim 1/n+1 = 0
lim n/n²+n = lim 1/n+n = 0
mais on ne peut déterminer la limite de chacun des termes mais pas de la somme de tous les termes
et pour la 2)a) je me suis dis qu'il fallait dire que Un était forcément compris entre son premier et son dernier terme mais comment le démontrer ?

merci d'avance pour votre aide

[pascal16]

n/(n²+k) = 1/(n+k/n) tend vers 0 quand n tend vers +oo

je me suis dis qu'il fallait dire que Un était forcément compris entre son premier et son dernier terme mais comment le démontrer ?
c'est une connaissance depuis le primaire qui est aussi "la décroissance sur R+* de la fonction inverse".
1/2>1/3>1/4>1/5>1/6...

Un= somme n/(n²+k) pour k entier variant de 1 à n
somme n/(n²+n) pour k entier variant de 1 à n <=Un<=somme n/(n²+1) pour k entier variant de 1 à n
on a n termes qui ne dépendent plus de k soit :
n*( n/(n²+n) ) <=Un<=n*(n/(n²+1) )

[Inescafe]

je ne comprends pas pourquoi Un serait compris entre n fois son dernier terme et n fois son premier terme

[pascal16]

somme de MACHIN pour k entier variant de 1 à n
c'est MACHIN+MACHIN+...+ MACHIN n fois
= n fois MACHIN

[Inescafe]

vous faites comme si chaque machin comme vous dites été la même chose or ce n'est pas le cas chaque machin est différent

[pascal16]

somme n/(n²+n) pour k entier variant de 1 à n
n/(n²+n) est indépendant de k, c'est une constante.


c'est pareil que
"je met en facteur n/(n²+n) "
somme n/(n²+n) pour k entier variant de 1 à n
=somme (1 *n/(n²+n)) pour k entier variant de 1 à n
= n/(n²+n) * somme (1) pour k entier variant de 1 à n
= n/(n²+n) * n