Exercice de suites

[SeifMaths]

Enoncé:
1/ Soit u une suite à valeur dans ]0,1[ tq pour tout n : 4 Un+1 > ( 1 / (1-Un) )
a) Etudier la monotonie de (Un): ok
b) Déduire que (Un) est convergente: ok
c) Montrer que lim (Un) = 1/2 : comment? Je n'ai jamais rencontré un calcul de limite d'une suite définie par une inégalité

2) Soit v la suite à valeur dans |R+ déf par v1=1 et (Vn+1 )² = 1 + Vn
a) Montrer que la suite (Vn) est croissante: ok
b) Montrer que pour tout n>=1, 1<=Vn<=2: ok
c) Prouver que la suite (Vn) est convergente vers une limite qu'on précisera: ok
d) Déduire alors la lim de la suite w déf par:

Wn = racine(1+racine(1+racine(1+......))) ; (n fois 1)
Ici je sais que Wn = Vn mais je ne sais pas comment le rédiger

+ Une question indépendante:
Si lim (Un) = - infini alors la suite(Un) est majorée à partir d'un certain rang, vrai/faux? et justifier

[Carpate]

Soit u une suite à valeur dans ]0,1[ tq pour tout n : 4 Un+1 > ( 1 / (1-Un) )

Je verrais plutôt : 4 Un+1 = ( 1 / (1-Un) )

Puisque la suite converge vers une limite l, au passage à la limite les 2 termes et sont égaux à l
donc tu as la relation : qui te donnera la valeur de l

[SeifMaths]

Soit u une suite à valeur dans ]0,1[ tq pour tout n : 4 Un+1 > ( 1 / (1-Un) )

Je verrais plutôt : 4 Un+1 = ( 1 / (1-Un) )

Puisque la suite converge vers une limite l, au passage à la limite les 2 termes et sont égaux à l
donc tu as la relation : qui te donnera la valeur de l

Non c'est une inégalité, de plus c'est le devoir de notre lycée de l'année dernière

[Ben314]

Salut,
Les infos que tu as (i.e. l'inégalité) sont effectivement suffisantes pour conclure concernant la limite de la suite Un, mais c'est tout sauf trivial :
- Le fait que la suite Un est croissante et majorée (par 1) montre qu'elle converge vers une limite L<=1 et on a aussi L>=U0>0 donc L est dans ]0,1].
- Comme la suite est croissante, on a pour tout n donc aussi , ce qui, vu que , implique que , c'est à dire que
- Comme cette relation est vérifiée pour tout n, on en déduit que c'est à dire (calcul) que ce qui laisse comme unique possibilité .

[SeifMaths]

Salut,
Les infos que tu as (i.e. l'inégalité) sont effectivement suffisantes pour conclure concernant la limite de la suite Un, mais c'est tout sauf trivial :
- Le fait que la suite Un est croissante et majorée (par 1) montre qu'elle converge vers une limite L<=1 et on a aussi L>=U0>0 donc L est dans ]0,1].
- Comme la suite est croissante, on a pour tout n donc aussi , ce qui, vu que , implique que , ce qui signifie que
- Comme cette relation est vérifiée pour tout n, on en déduit que c'est à dire (calcul) que ce qui laisse comme unique possibilité .

Merci beaucoup!

[SeifMaths]

Sinon comment procéder pour résoudre 2/b ?

[Ben314]

C'est le 2/b/ ou le 2/d/ qui te pose soucis ?
Le 2/b/, c'est quasi immédiat par récurrence.
Le 2/d/ c'est immédiat : W1=1=U1 et on vérifie aisément que W(n+1)^2=1+W_n

[SeifMaths]

C'est le 2/b/ ou le 2/d/ qui te pose soucis ?
Le 2/b/, c'est quasi immédiat par récurrence.
Le 2/d/ c'est immédiat : W1=1=U1 et on vérifie aisément que W(n+1)^2=1+W_n

Ah oui, pardon, c'est le 2/d, merci j'ai compris
Il me reste maintenant la réponse à la question indépendante (Si lim (Un) = - infini alors la suite(Un) est majorée à partir d'un certain rang, vrai/faux? et justifier)
J'ai aussi une autre question (Je suis sur que c'est une question de cours mais notre cours en classe me semble incomplet): lim Un * lim Un = lim Un²? (si Un est convergente bien sur)

[Ben314]

Concernant la "question indépendante", je te laisse un peu réfléchir : ce n'est pas compliqué de trouver quelle est la bonne réponse. Par contre je ne sais pas si c'est évident à démontrer proprement au niveau Lycée : as-tu une définition propre (mathématiquement parlant) de ce que signifie ?

Concernant ta dernière question, je suis quasi certain que ton cours contient le résultat suivant :
Si la suite (Un) tend vers L et la suite (Vn) tend vers L' alors la suite (UnxVn) tend vers LxL'.
Qui, dans le cas où la suite (Vn) est la même que (Un) dit que, si (Un) tend vers L alors (Un²) tend vers L².

[SeifMaths]

Merci beaucoup
A propos de la question indépandente, en s'appuyant sur la définition de la limite j'ai trouvé que lim Un = -infini si et seulement si pour tout réel A<0 il existe n0 dans |N tel que n>n0 qui nous donne Un<A
Mais je sens que ce n'est pas vraiment convaincant..

[Ben314]

C'est bien ça qu'il faut utiliser.
Ensuite, la raisonnement est "archi classique", mais a mon avis pas évident pour un Lycéen :
Vu que, quelque soit A<0 on a ...., c'est en particulier vrai pour A=-1 ce qui signifie qu'il existe un certain n0 dans N tel que Un<-1 pour tout n>=n0, c'est à dire en fait que la suite (Un) est majorée par -1 à partir du rang n=n0.
Le problème, c'est qu'il reste les termes U0, U1, U2,... U(n0-1) et que, concernant ces termes là, ben on ne sait rien.
Sauf que, ça ne représente qu'un nombre fini de termes et que, quand on a un nombre fini de réels, ben y'en a forcément un qui est le plus grand de tous (ce qui est évidement faux lorsque l'on a une infinité de réels).
Donc, si on note M le plus grand des réels U0, U1, U2,... U(n0-1) alors M est un majorant de de l'ensemble {U0,U1,...U(n0-1)} et il suffit de prendre le plus grand des deux nombres -1 et M pour avoir un majorant de tout les Un.

Si on veut résumer le "fil conducteur" de la preuve, ça consiste à voir que, pour qu'une suite soit majorée, ben il suffit qu'elle soit majorée à partir d'un certain rang vu qu'un ensemble fini de réels, c'est forcément majoré.
C'est éventuellement là qu'on voit apparaitre l'une des différences les plus simples entre "le fini" et "l'infini".

[SeifMaths]

C'est clair et net maintenant, je vous ai bien compris

C'est éventuellement là qu'on voit apparaitre l'une des différences les plus simples entre "le fini" et "l'infini".

Absolument!