Exercice suites.

[blancheneige]

Bonsoir, je voudrais que vous m'aidiez sur un exercice svp, merci :

La fonction f est définie sur [0;2] par : f(x) = (2x+1)/(x+1)

a) Démontrer que si x ;) [1;2] alors f(x) ;) [1;2].
b)u est la suite définie par U;) = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, Un+1 = f(Un).
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 1 ;) x ;) 2.
c)Démontrer que la suite u est croissante?
d) Démontrer que la suite u est convergente et déterminer la valeur exacte de sa limite.


a)

f(1) = (2*1+1)/(1+1) = 3/2

donc l'image de f(1) = 3/2

f(2) = (2*2+1)/(2+1) = 5/3

donc l'image de f(2) = 5/3

On peut donc conclure alors que 3/2 ;) f(x) ;) 5/3 ; 1 ;) x ;) 2
d'où f(x) ;) [1;2] si x ;) [1;2].

b)

Initialisation :
On a : u;) = 1, donc : 1 ;) x ;) 2 ; 1 ;) u;) ;) 2; 1 ;) 1 ;) 2 : donc la propriété est vraie.

Hérédité :

On suppose qu'il existe pour tout n tel que : 1 ;) Un ;) 2
On veut montrer que : 1 ;) Un+1 ;) 2
Supposons donc que :
<=> 1 ;) Un ;) 2
<=> (2*1+1)/(1+1) ;) (2n+1)/(n+1) ;) (2*2+1)/(2+1)
<=> 3/2 ;) (2n+1)/(n+1) ;) 5/3

or, 3/2 ;) 1, tandis que 5/3 ;) 2.
Donc on a bien 1 ;) Un+1 ;) 2.
La propriété est héréditaire, vraie pour n = 0, donc on a bien 1 ;) Un ;) 2 pour tout n ;) 0.

c)
= Un+1 - Un

= [(2(n+1)+1)/((n+1)+1)] - [(2(n+1)/n+1] = (2(n+1)+1)/((n+1)+1) + (-2(n+1)/(n+1)

= (2(n+1)+(n+1))/((n+1)+(n+1)) + (-2(n+1)(n+1)+1)/((n+1)+(n+1))

= (2(n+1)+(n+1)-(2(n+1)(n+1)+1)/((n+1)+(n+1))

= 1/((n+1)+(n+1)) > 0

Un+1 - Un > 0 donc Un+1 > Un donc la suite (Un) est strictement croissante.

d)

[chan79]

Bonsoir, je voudrais que vous m'aidiez sur un exercice svp, merci :

La fonction f est définie sur [0;2] par : f(x) = (2x+1)/(x+1)

a) Démontrer que si x [1;2] alors f(x) [1;2].


f(1) = (2*1+1)/(1+1) = 3/2

donc l'image de f(1) = 3/2

f(2) = (2*2+1)/(2+1) = 5/3

donc l'image de f(2) = 5/3

On peut donc conclure alors que 3/2 f(x) 5/3 ; 1 x 2
d'où f(x) [1;2] si x [1;2].

salut
c'est incomplet: il faut montrer que f est croissante sur [1;2]

[blancheneige]

Un suite est croissante a < b alors f(a) < f(b) : 1 < 2 alors f(1) < f(2).