Exercice suites carré moins 2

[Rana Viridis]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice svp :
Soit u(0)=10+(1/10). On définit u(1)=u0²−2, u(2)=u1²−2, et plus généralement u(k+1)=uk²−2 pour tout entier naturel k. Soit a l'entier le plus proche de u(20). Déterminer le nombre de chiffres de l'écriture décimale de a.

Je ne sais pas comment résoudre l'exercice sans calculer tous les termes jusqu'à 20 ce qui serait impossible.

[samoufar]

Bonjour,
As-tu essayé de calculer pour voir ce que donnait ta suite ? Peux-tu en déduire en fonction de ? Si c'est bon, tu devrais pouvoir terminer l'exercice

PS : Ils ont été gentils d'écrire et pas

[Rana Viridis]

Bonsoir,
J'ai trouvé que :
u(1)=100,01=100+(1/100)
u(2)=10 000,0001=10 000+(1/1000)
u(3)=100 000 000
u(4)=1.
u(5)=1.
u(6)=1.
Est-ce que je peux conjecturer que u(7)=1. ?
Si oui, comment savoir le nombre de chiffres de l'écriture décimale de a, nombre entier le plus proche de u(20) ?
Est-ce que je suis la bonne piste ?

[jlb]

Reprends tes calculs
U_0 = 10 +1/10 ...................... 2^0=1
U_1= 100 + 1/100 .................... 2^1 =2
U_2 = 10000 + 1/10000 ...................... 2^2=4
U_3 = 100 000 000 + 1/100 000 000 ............. 2^3=8


Tu n'aurais pas envie de montrer que U_n = 10^(2^n) + 10^(-2^n)

et pour le nombre de chiffre n=0, il y a 3 chiffres; pour n =1 il y a 5 chiffres; pour n=3 il y a 17 chiffres...
tu vas trouver le truc si tu connais bien le passage de l'écriture puissances de 10 à l'écriture décimale

[Rana Viridis]

Pardon, je ne comprends pas ce que signifie ......2^0=1 ?

[Rana Viridis]

Ah si j'ai compris merci !

[Rana Viridis]

Merci beaucoup, je pense que j'ai compris !
Donc si je ne me trompe pas, pour n=20, il y aura 2 097 153 chiffres. Par contre, pourquoi l'énoncé disait "soit a l'entier le plus proche de u(20) ? Cela voudrait dire qu'il ne faut pas considérer les chiffres après la virgule, et que donc la réponse serait 1 048 577 ?

[jlb]

oui, j'avais zappé le coup de l'entier le plus proche!! bien vu, bon après c'est ton exo!!!