Exercice de probabilités

[malek1807]

Bonjour,
Je bloque sur un exo de probabilités dont voici l'énoncé :

Il y a le numéro de 3 centre de renseignements différents dans l'annuaire d'une petite ville côtière.

5 touristes choissisent chacun un centre au hasard et l'appellent .

1-Quelle est la probabilité qu'un centre exactement soit appelé?

2-Quelle est la probabilité que les trois centres soient appelés ?

Merci de vos réponses

[titine]

Bonjour,
Je bloque sur un exo de probabilités dont voici l'énoncé :

Il y a le numéro de 3 centre de renseignements différents dans l'annuaire d'une petite ville côtière.

5 touristes choissisent chacun un centre au hasard et l'appellent .

1-Quelle est la probabilité qu'un centre exactement soit appelé?

Autrement dit que les 5 touristes aient appelé le même centre.
Le 1er touriste a 1 chance sur 3 d'appeler le centre A, De même pour le 2eme, le 3eme, ....
Donc la probabilité que les 5 touristes aient appelé le centre A est 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 = (1/3)^5
De même la probabilité qu'ils aient tous appelé le centre B est (1/3)^5
De même la probabilité qu'ils aient tous appelé le centre C est (1/3)^5
Donc la probabilité qu'ils aient tous appelé le même centre est (1/3)^5 + (1/3)^5 + (1/3)^5 = 3*(1/3)^5

[malek1807]

Autrement dit que les 5 touristes aient appelé le même centre.
Le 1er touriste a 1 chance sur 3 d'appeler le centre A, De même pour le 2eme, le 3eme, ....
Donc la probabilité que les 5 touristes aient appelé le centre A est 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 = (1/3)^5
De même la probabilité qu'ils aient tous appelé le centre B est (1/3)^5
De même la probabilité qu'ils aient tous appelé le centre C est (1/3)^5
Donc la probabilité qu'ils aient tous appelé le même centre est (1/3)^5 + (1/3)^5 + (1/3)^5 = 3*(1/3)^5

Merci de voter réponse. Pour la question 2 j'ai pensé a ce raisonnement
2 centres sont appelés équivaut à t1 appelle c1 (p=1/3) t2 appelle c2 (p=1/3) et t3, t4 et t5 n'appellent pas c3
(p=(2/3)^3= 8/27)

ce qui nous fait la probabilité que c1 et c2 soient appelés = 8/243
même chose pour c1c3 et c2c3 ce qui nous fait une probabilité que deux centres soient appelés de 24/243

Après en appliquant la probabilité certaine égale à 1 (un centre est appelé ou 2 centres sont appelés ou 3 centres sont appelés), on trouve la pbb que les 3 centres soient appelés.
Est-ce que ça tient la route :p
Merci

[malek1807]

un petit up :)

[Pseuda]

Merci de voter réponse. Pour la question 2 j'ai pensé a ce raisonnement
2 centres sont appelés équivaut à t1 appelle c1 (p=1/3) t2 appelle c2 (p=1/3) et t3, t4 et t5 n'appellent pas c3
(p=(2/3)^3= 8/27)

ce qui nous fait la probabilité que c1 et c2 soient appelés = 8/243
même chose pour c1c3 et c2c3 ce qui nous fait une probabilité que deux centres soient appelés de 24/243

Après en appliquant la probabilité certaine égale à 1 (un centre est appelé ou 2 centres sont appelés ou 3 centres sont appelés), on trouve la pbb que les 3 centres soient appelés.
Est-ce que ça tient la route :p
Merci

Dans ton raisonnement, il en manque pour calculer la probabilité que 2 centres soient appelés. En effet, cela peut être t2 qui appelle c1 et t1 qui appelle c2. Il en manque aussi d'autres car t3, t4 et t5 peuvent se répartir sur les 2 centres c1 et c2.

Ton idée est bonne de calculer la probabilité que 2 centres au plus sont appelés (événement contraire à "les 3 centres sont appelés"). Il faut compter le nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles (3^5).
Nombre d'issues favorables : il faut éliminer 1 centre (3 possibilités), et les appels se répartissent sur les 2 autres centres (2^5 possibilités). Cela fait : 3* 2^5 possibilités.
Mais en faisant ainsi, on compte deux fois les issues où 1 seul centre est appelé : 3 possibilités.

Il reste 3 * 31 possibilités pour que 2 centres au plus soient appelés, soit une probabilité de 31 / 81 pour cet événement, soit une probabilité de 50 / 81 pour que les 3 centres soient appelés.

Une autre façon de procéder : considérer que les 3 centres peuvent être appelés en répartissant les touristes sur c1, c2 et c3, de cette façon : 311, 131, 113, 221, 212 ou 122.