Exercice portant sur deux équations différentielles liées.

[martine08]

Bonjour à tous! Je m'appelle martine, je suis en terminale S, et je suis bloquée sur un exercice portant sur les équations différentielles.

Enoncé:
Soit (E): y' + y = x + 1

1) on pose z(x) = f(x) - x , pour tout réel x où f est solution de (E) sur R. Déterminer la constante réelle k telle que z soit solution de l'équation différentielle (E'): y' = ky.

2) Résoudre (E'), puis en déduire les solutions de (E)
3) soit a un réel. Déterminer la solution Fa de (E) qui vaut a en 0.
4) Déterminer le sens de variations de Fa sur R lorsque a < 0
5) Prouver que, pour tout réel a, la tangente Ta au point d'abscisse -1, à la courbe de Fa, passe par l'origine du repère. »

Voilà... Je ne sais pas vraiment commencer.
On m'a déjà aidé (sans me répondre plus), et j'ai pour la question 1:

si z(x)=f(x)-x, alors z'(x)=f(x)-1 et bien sûr
f(x)=z(x)+x et f'(x)=z'(x)+1
Si f est solution de (E) alors
f'(x)+f(x)=x+1
et en remplaçant f(x) et f'(x) par leurs valeur fonction de z(x) et z'(x) on obtient :
z'(x)+1+z(x)+x=x+
donc : z'(x)+z(x)=0

Après, pour la question 2, je ne comprends pas très bien. Je n'ai aucune coordonnées ni rien pour résoudre l'équation...

J'ai vraiment besoin d'aide.

Merci d'avance !

Martine :help:

[Dinozzo13]

Salut !

Pour la 1°) :
est solution de l'équation différentielle si et seulement si pour tout réel , , c'est-à-dire, .
Or est solution de d'après l'énoncé, donc vérifie pour tout , i.e. .
Par suite :

équivaut à d'où .
Or cette équation est vraies pour tout si et seulement si , d'où

:+++:

[el niala]

OK pour ton calcul, tu end éduis donc que k=-1 non ?

d'où tu dois chercher la solution générale de l'équation différentielle y'=-y <=> y'+y=0 (pas très judicieiux les notations de l'énoncé au passage !)

tu ne sais pas résoudre cette ED ?

[Dinozzo13]

Pour la 2) :

Les solutions de sont les fonctions de la forme avec .

Or on a vu dans la question précédente que z est solution de cette équation différentielle donc tu en déduis que .
Or tu sais que donc

:++:

[martine08]

Merci beaucoup pour vos réponses Dinozzo et el_Niala!

.... = a*e^(kx) + x = a*e^(-x) + x ?!

Désolé, je ne voyais pas comment résoudre en gardant ma constante, car je n'avais vu que la résolution totale (dans le cas où on a une condition initiale)!

Pour la 3), il me suffit de remplacer, dans (E), x par 0, non?

Les équations différentielles me posent vraiment problème...

[martine08]

Si la suite de la question 2 est juste, je pense qu'on a, par suite:

3) il faut résoudre avec f(0) = a.

Je m'explique:
si f(x) = c*e^(kx) - x alors on a:

a = c*e^0-0 <=>a = c*1
<=> c = a.
Ainsi, on obtient (si je ne fais aucune erreur), Fa = a*e^(-x) -x


4) ce n'est pas inférieur strictement ; mais bien inférieur ou égal!

[martine08]

Est-ce juste...?