Exercice portant sur les congruences.

[Lenwe]

Bonjour,

pourriez-vous m'aider car je ne vois pas le raisonnement à suire pour démontrer ce qui suit:

Montrer que 328^42 est congru à 4 modulo 5.

Merci de votre aide!!!

[bitonio]

voir ci dessous mon autre message :zen:

[nox]

Salut,

deja 328 = 68*5 + 8

donc 328^42 est congru à 8^42 modulo 5!! c'est deja nettement mieux

Après je propose carrément de regarder les puissances de 8 non ?
Seul le chiffre des unités nous intéresse :
8^1 = 8 (congru à 1 modulo 5)
8^2 = 64 (congru à 4 modulo 5)
8^3 = .....2 - car 8*4 = 32 (congru à 2 modulo 5)
8^4 = ....6 (congru à 1 modulo 5)
puis on retombe sur nos pieds...on regarde donc les cycles de 4
Or 42 congru à 2 modulo 4 donc on aura bien un nombre finissant par 4 et donc congru à 4 modulo 5

C'est plus intuitif mais peut etre moins rigoureux

[bitonio]

on a 328 = 65*5 + 3
donc 328 est congru à 3 modulo 5 (autant pour moi!!)

on a donc 328^42 congru à 3^42 modulo 5

on a 3^2 est congru à -1 modulo 5

Or 42 = 2*21

donc 3^42 = 3^(2*21) = (3^2)^21 = -1^21 = -1 = 4 modulo 5

et voila, je pense que c'est le plus rigoureux ...

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Le but dans ce genre d'exercice, quand tu as x^y avec x et y très grand, c'est de simplifier x en premier (c'est à dire x < au modulo)

exemple: 21^34 modulo 5, 23=4*5+3, donc 23^34 est congru à 3^34

La suite de l'exercice, c'est de simplifier y!

on regarde les puissances de 3
3^2 = 9 (9 est congru à -1 modulo 5 )

donc (3^2)^p est congru à -1^p

après tu cherches ton p:

3^34 = (3^2)^17, donc finalement le truc est congru à (-1)^17, donc à -1 (pareil que 4 modulo 5)


Allez on va voir si tu as compris,

calcule le reste de 452^2254 dans la dision par 7
un peu plus dur, mais si tu manies les puissances ca devrait aller, 452^2255 modulo 7

Je te conseille de les faire, une fois qu'on a pigé c'est du gateaux! :zen: :zen:

EDIT, j'avais mal noté l'énoncé

[nox]

oui ca me parait parfait :++:
J'achete