Exercice exponentiel TS

[melow]

g(t)=(1-exp(-t))/t si t > 0
et g(0) = 1 , fonction définie sur [0, + infini [

1)Prouver que pour tout t supérieur ou égal à 0, on a 1 + t inférieur ou égal à exp(t)
2)En déduir le signe de g'(t) et le sens de variation de g(t)
3) On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0, pour cela on introduit la fonction h definie sur [0, + infini [ par :
h(t) = 1 - t + ( t²/2 ) - exp(-t)
a) calculer h' et h" ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0)
b) prouver que pour tout t>0 on a 0 < h(t) < (t^3)/6 (1)
Pour cela on établira d'abord que 0 < h"(t) < t, et on déduira un encadrement de h' puis de h
c) Déduire de la relation (1) un encadrement de (1-exp(-t)-t)/t²
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)= -1/2

Merci beaucoup si quelqu'un pourai m'aider parce que je n'y arrive pas, pour la 1) j'ai retourné l'equation dans tout les sens sans résultat, pour la 3)a) j'ai trouver h'(t) = -1 + t + exp (-t) et h"(t) = t - exp(-t)
je bloque completement pour la 3) b et c :briques:

[André]

Bonsoir !

1) pose f(t) = e^t - (1 + t)
calcule f'(t), tu verras que f'(t) >= 0 pour t >= 0
donc f croissante pour t >=0
calcule alors f(0)... à toi de conclure...