Exercice fonction exponentiel insurmontable

[Sayachan]

Bonjours a tous, je suis navrée de vous déranger mais , cela fait depuis une semaine que j'essaye de résoudre cette exercice, et la date limite pour le rendre approche. Je me voie donc obligé de demander de l'aide avant de dedinitovement abandonné. Je n'en peux plus de cet exercice. Je l'ai lu , relue et rerelue mais rien. Je ne comprend pas.
Le voici( je n'ai pas pu mettre le graphique....désolé) :


Pour tout entier naturel n superieur ou egal à 1,on note fn la fonction définie sur R par Fn(x)=x^n * e^-x *. Cn est la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé. Sur la figure ci dessous, on a tracé la Courbe C3 ainsi qu'une courbe Ck (K appartient à N).

La tangeante Tk à Ck au point M d'abcisse 1 coupe l'axe des ordonnés en A de coordonées(0; -4/e)


1a) Quelle est la limite de f1 en + l'infinie et en - l'infinie.

b) Étudiez les variations de f1 et dressez son tableau de variation

c) à l'aide de la représentation précédente, justifiez que k est un entier pair supérieur ou égal à 2.

2a) Demontrez que pour tout entier n>= 1, toutes les courbes Cn passent par deux points fixes dont vous donnerez les coordonées.

b) Vérifiez que pour tout entier n=>2 et tout nombres x,
f'(x)=x^(n-1) * (n-x)* e^-x.

3) Sur la figure , f3 semble admettre un maximun pour x=3. Validee cete conjecture par une demonstration.

4)a) Demontrez que la tangeante Tk en M a la courbe Ck coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0; (2-k)/e).

b) Désuisez en la valeur de l'entier k.

c) Sur la figure , il semble que la fonction fk soit strictement croissante sur [0; +l'infinie] et que Lim fk(x)= + l'infinie
x->+l'infinie
Validez ou non ces conjectures.



Merci a tous ceux qui voudrons bien me sauver..

[Black Jack]

Salut,

Aide pour le début ...

1a)
f1(x) = x*e^-x

lim(x--> -oo) f1(x) = -oo * +oo = -oo
lim(x--> +oo) f1(x) est une indétermination du type oo * 0, on peut lever cette indétermination en se rappelant qu'une exponentionelle "gagne" toujour sur une puissance, et donc :
lim(x--> +oo) f1(x) = 0

1b)
f1(x) = x*e^-x
f'1(x) = e^-x - x.e^-x
f'1(x) = (1-x).e^-x
Une exponentielle est toujours > 0 et donc f'1(x) a le signe de (1-x)

Continue ...

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Aide pour lancer la suite :

2a)
Recherche des points communs à toutes les Cn (n >= 1)

f1 = x.e^-x
f2 = x².e-x

f1 = f2 si x = x² (donc pour x = 0 ou 1)

Les points communs à C1 et C2 ont pour coordonnées P(0 ; 0) et Q(1 ; 1/e)

Il reste à vérifier que toutes les Cn passent bien par ces 2 points, donc que :

avec fn(x) = x^n*e^-x, on a bien fn(0) = 0 ET fn(1) = 1/e quel que soit n >= 1

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Aide pour lancer la suite :

3)
Etudier les variations de f3(x) = x³.e^-x

En se servant de la réponse à la question 2b pour étudier le signe de f'3(x) ...

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