[TS] Exercice complexe ?

[benekire2]

Bonjour,

Je suis entrain de faire un exo assez relevé ( ou pas d'ailleurs, ça se trouve c'est moi qui plante sur un truc con .. )

Alors voici l'énoncé :

Soit ; et des complexes tels que et
Montrer que

J'espère simplement que vous me donniez une petite piste ( pas trop large non plus ...)

Merci beaucoup :zen:

[mathelot]

forme trigo
exponentielle complexe
?

[Nightmare]

Salut !

l'hypothèse sur les modules peut aussi s'écrire pour i=1,2,3. Il peut être du coup intéressant de passer au conjugué dans la deuxième hypothèse !

[mathelot]

on peut remarquer aussi

que
la somme appartient au cercle trigo

et les deux autres sommes aussi

j'essayerai de transformer tout ça en "table d'addition" sur les arguments

avec deux structures algébriques

celle habituelle avec la somme des arguments qui correspond au produit des complexes et des "translations de " qui correspondent aux sommes de 2 complexes

[mathelot]

finalement , on peut s'en sortir par le calcul



en élevant au carré


ça permet d'évaluer

en fonction de

puis de trouver que
est nul

[Ben314]

Salut,
On peut aussi utiliser le fait que le module et un argument de deux nombres complexe de module 1 est assez façile à obtenir :

[relation que l'on peut aussi retrouver à l'aide d'un simple dessin : la diagonale d'un losange est une bisectrice de l'angle...]
Il suffit d'appliquer à ; et regarder à quelle condition est lui aussi de module égal à 1.

[benekire2]

Ok merci beaucoup pour vos conseils :zen:

[Nightmare]

3ème démo qui suit ma piste :



D'où et donc et par symétrie des rôles...

[benekire2]

en ce qui concerne la méthode de nightmare, j'étais partit dessus mais ça n'a rien donné de génial. J'ai surement du louper un truc
en nottant z1=a z2=b et z3=c avec leurs conjugués ' j'ai :

a'+b'+c'=0 puis ab+bc+ac=0 Mais bon, je vais chercher dans ce sens disons :id:

[benekire2]

3ème démo qui suit ma piste :
D'où et donc et par symétrie des rôles...

A ba oui , j'ai pas eu cette intelligence ... :mur:

[Le_chat]

Une méthode classique pour résoudre ce genre de problème, c'est la réduction des inconnues: on pose
Donc:
En divisant par (par exemple) et en posant:
On tombe sur:
qui admet (sauf erreur...) une seule solution . On en tire a, b,c et le résultat...

[benekire2]

Je n'ai malheureusement pas ces réflexes .. Mais bon, chaque exercice me fait avancer un peu ( un chouilla !!)